2、为・猜想论证：(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想/D与BC的数量关系，并给予证明.拓展应用(3)如图4,四边形ABCD,ZC=90。，ZZ)=150°,5C=12,CD=2y/3,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使是的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△刊B的“旋补屮线”长；若不存在，请说凶明理由.、1.【探索发现】如图1,是一张直角三角形纸片，ZB=90。,小明想从中剪出一个以ZB为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着屮位线DE,EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其止
3、确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为・【拓展应用】如图2,在厶ABC中，BC=a,边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P,N分别在边/B,MC上，顶点0M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为（用含°,力的代数式表示）.【灵活应用】如图3,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CDR6,小明从屮剪岀了一个面积最大的矩形（ZB为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.【实际应用】如图4,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量M=50cm,5C=108cm,4CZOcm,JUt
4、an^tanC.-,木匠徐师傅从这块示料中裁出了顶点MN在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的而积.图2图3DBC图4备用图C1.折纸的思考.【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.第一步，对折矩形纸片ABCD(AB>BC)(如图1),使川？与DC重合，得到折痕EF,把纸片展平(如图2)・第二步，如图3,再一次折叠纸片，使点C落在EF上的F处，并使折痕经过点得到折痕BG,折岀PB,PC,得到△PBC.(1)说明是等边三角形.图3DGC【数学思考】(2)如图4,小明画出了图3的矩形MCD和等边三角形PBC.他
5、发现，在矩形ABCD屮把经过图形变化，可以得到图5屮的更大的等边三角形•请描述图形变化的过程.图4图5DC(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为acm.对于每一个确定的a的值,在矩形屮都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的Q的取值范围.【问题解决】(4)从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4cm和lcm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm.2.已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线交于点E.(1)如图1,若ZABC=ZADC=90°,求证：EDEA=ECEB.3
6、(1)如图2,若ZJ5C=120°,cosZADC=~,CD=5,AB=2,的面5积为6,求四边形ABCD的面积.(2)如图3,另一组对边DC的延长线相交于点F.若cosZABC=cos3ZADC=—,CD=5,CF=ED=nf直接写出/D的长(用含刃的式子表示).5图1图2【参考答案】1.(1)①丄；②4；2(2)AD=-BC,证明略；2(3)存在，“旋补屮线”长为炉・2.【探索发现】丄；2【拓展应用】-ah；4【灵活应用】该矩形的面积为720；【实际应用】该矩形的面积为1944cm2.3.(1)证明略；(2)
7、先将△BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得△BPG，再将△册C以B为位似中心放大，使点G的对应点C2落在边CD上，得到△BP2C2;(3)略；(4)£54.(1)证明略；(2)四边形ABCD的面积为75-18V3；(3)AD的长为"+25.
