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1、勾股定理一.知识归纳1・勾股定理内容：总角三角形两总角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两血角边分别为a,b,斜边为c,那么a2^-b2=c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形屮较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2•勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没
2、有重叠，没有空隙，而积不会改变②根据同一种图形的而积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法—：+S正方形efgh=S正方形abcd4专“+（一。）〜宀化简可证.方法二四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大止方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为—X診+宀2“士2人正方形血积为S=(«+Z?)2=a2+lab+b2所以/+/?2=c2化简得证方法二：S梯形=*(d+b)・(d+b)‘S梯形YSwe+Swe+,2•勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数最关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三和形和钝角三角形
3、的三边就不具冇这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对彖是直角三角形3•勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在AABC中，ZC=90°,贝\c=y/a2+b2,b=ylc2-a2,a=lc2-b2②知道直角三角形一边，可得另外两边Z间的数量关系③对运用勾股定理解决一些实际问题4•勾股定理的逆定理如果三角形三边长g,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是在角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三用形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的对能形状，在运用这一定理时，对用两小边的平方和a2^b2与
4、较长边的平方疋作比较，若它们相等时，以a,b,c为三边的三角形是直角三角形；若a2+b2c2，时，以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中g,b,c及亍+夕=。2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长g,b,c满足a2+c2=b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形5•勾股数①能够构成肓用三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2^b2=c2中，a,b,
5、c为正整数时，称g,b,c为一组勾股数②记住常见的勾股数町以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示〃组勾股数：n2-l,2w,n2+1（n>2,川为正整数）；2n+1,2沪+2n,2n2+2〃+1（n为正整数）m2-n2,2mn,m2+n2（zn>/i,m,zi为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决自和三旳形屮的边长的计算或宜旳三旳形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常
6、作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8・・勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三勿形是否是玄和三勿形，在具体推算过程屮，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错课的结论.9•勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的儿何问题中，是密不可分的-•个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，乂要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形：题型一：J［接考查勾股定理例1.在AABC中，ZC=9
7、0°.(1)已知AC=6,BC=8.求AB的长⑵已知AB=17,AC=15,求的长分析：直接应用勾股定理a2^-b2=c2解：(1)4B=VAC2+BC2=10(2)BC=yjAB2-AC2=8题型二：应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD丄AB于D,CD=⑵已知直角三角形的两肓角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的而积为⑶已知直角三角形的周长为30cm,斜边长为13cm,则这个三角形的而积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等丁斜边与斜边上高的乘积.有吋可根据勾股定理列方程求
