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1、高三数学模拟试卷四注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修
2、正液、可擦洗的圆珠笔．数学Ⅰ正题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合，则▲．2．设i为虚数单位，复数▲．2i3．已知
3、
4、=3，
5、
6、=1，且与同向共线，则·的值是▲．34．已知函数的图象经过点P(,1),则函数图象上过点P的切线斜率等于▲．5．若为等差数列，是其前项和.且，则=▲．6．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手成绩的方差是▲．0.0167．已知函数,若则实数的取值范围是▲．8．对任意非零实数a、b，若ab的运算原理如图所示，则lgl000=▲．______1_
7、_____。9．如图3，椭圆的左、右焦点分别为F1、10F2，若以该椭圆的右焦点F2为圆心的圆经过坐标原点，且被椭圆的右准线分成弧长为的两段弧，那么该椭圆的离心率等于▲．10．在区间[0，1]上任意取两个实数a、b，则函数在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为▲．11．若圆上有且仅有三个点到直线（a是实数）的距离为1，则等于▲．12．设集合，则集合M中所有元素的和为▲．45013．如图,为了测量河的宽度,在河的一岸边选取两点,观察对岸的点,测得,且96米,则河的宽度为▲．(，精确到米).解析：81米；，由正弦定理得：，=81米。14.定义在R上的函数，对任意实数，都有和，
8、且，记，则2012二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）设，若对任意的，都有关于的等式恒成立，试求的值；（2）在中，三边所对的角依次为，且，，且，求的值。解：（1）化简得：10则：关于的等式恒成立的充要条件是：平方得：，又因为：所以：所以：，而，所以：（2）,,EABCC1B1A1D16．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2AA1，ÐBAA1＝ÐCAA1＝60°，D，E分别为AB，A1C中点．（1）求证：DE∥平面BB1C1C；（2）求证：BB1^平面A1BC．答案自己做17．某小
9、区规划一块周长为(为正常数)的矩形停车场，其中如图所示的直角三角形内为绿化区域.且.设矩形的长，(1)求线段的长关于的函数表达式并指出定义域；(2)应如何规划矩形的长,使得绿化面积最大?.解(1)由,得设,因为,,得,所以,定义域为(2)因为,仅当时取等号.又10所以,此时AB=答:当矩形的长为时,绿化面积最大.18．在平面直角坐标系中，已知圆心在第四象限，半径为的圆与直线切于点，圆与轴的一个交点是椭圆的一个焦点．（1）求圆的方程；（2）若是椭圆的右顶点，问在圆上是否存在异于的点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设圆方程为：由题意：∴∴圆方程为（2）由
10、题意圆C与x轴的交点为（1，0）∴∴椭圆方程：假设在圆上存在异于的点，使设，由∴，∴∴所以在圆上存在异于的点，使点的坐标为（2，1）19.已知函数在处的切线方程为（1）若=，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；（2）若，是否存在实数，使得对于定义域内的任意都成立；10（3）若方程有三个解，求实数的取值范围解:（Ⅰ）因为所以，又设图像上任意一点因为,所以切线方程为令得；再令得,故三角形面积,即三角形面积为定值.（Ⅱ）由得，假设存在满足题意,则有化简,得对定义域内任意都成立,故只有解得所以存在实数使得对定义域内的任意都成立.（Ⅲ）由题意知,因为且化简,
11、得即如图可知,所以即为的取值范围.20．在数列中，，，，其中．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由；（3）已知时，，其中，求时，满足等式的所有．10证明：（1）∴是等差数列.(2)假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列；不妨设为第项（）又∵是等差数列，∴∴∴∴可以看出等式左边是偶数右边是奇数，∴假设不成立，∴数列中不存在三项，它们可以构成等差数列。（3）当时，∴∴∴∴当时，不满足等式然后再分别令验算∴
