资源描述：
《由一道三角题的解法探索引发的思考》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、由一道三角题的解法探索引发的思考范茂婷祥云一屮题目：2015年10月昆明市统测试题文科：在MBC中，D是BC的中点，若AB=3,AC=1,ZB4C=6O。，则AD=理科:在AABC中，D在BC±,AD平分ABAC,若A5=3,AC=l,ZflAC=60°,贝\AD=・【题源】(2015年新课标2卷理科17题)ABC中，Q是BC上的点，AD平分ABAC,ABD是AADC面积的2倍./丫、+sinZB(1)求；sinZC(II)若AD=9DC=—，求3D和力C的长.2(15年新课标2文科)AABC屮，D是BC上的点，AD平分ABAC,BD=2DC・(I)求也竺sinZC(II)若ZB
2、AC=60°,求上3・重点结论：角平分线性质：(1)平分角，(2)到角两边距离相等，(3)线段成比例。中点性质与结论：(1)平分线段，(2)向量结论，(3)平分面积。【解法荟萃】:解法1(方程思想人两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；在ABC中，D在BC上，AD平分ABAC,^AB=AC=1,ZBAC=60°,则AD=・解：在中，BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosABAC=7,贝ljBC=V7;因为AD平分如C,则鲁H，所以BD芈DC再;2AB^AD32+x2-在ABD，设AD=x,利用cosABAD=cos30°=AB+A°~B°若在AADC中，设A
3、D=m,则？=m2+1-2x^3加,解得加或上3_.16244解法评价：好想，但计算较多，且最终无法取舍两根，需要依靠图片的准确性舍弃一个解.解法2（余弦定理灵活使用人两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；在ABC中，D在BC上，AD平分ABAC,AB=3,AC=1,ABAC=60°,贝ljAD=・解：在MBC中，BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosABAC=7,贝ljBC=V7在AABD中，AD2=AB2+BD2-2AB•BO•cosB3V7527X==———2x3xx—•==—42^716所以AD二巫解法评价：突岀余弦定理两人运用，两边及夹角，利用余弦定理
4、求第三边和三边求角，训练同一个角在不同三角形屮求解.解法3（坐标法）：在AABC中，D在BC上，AD平分ABAC,若AB=3,AC=1,ZBAC=6O°,则AD=解：如图，把ABC放到坐标系，A放到坐标原点,AC在兀轴上,则所以D—吩事，所以心2逾乎解法评价：这题坐标作用不大,止Z后，角平分线上的点到角两边距离就可以使用.解法4（面积法）在ABC'I1,D在BCAB=3,AC=1,ZBAC=6O。，则AD=解：SgBC=^MCD+SZB1），由正弦定理的面积公式可得：丄ABACsinA=-ADACsinZDAC+-ADABsinZBAD222111Opy得一x3xlxsin60°=—
5、x3xAD・sin30°+—xlx4D・sin30。，秒解AD二亠2224解法评价：此解法快速高效.解法5（向量法）在AABC中，D在BC上，AD平分ABAC,若4解法评价：此法属于通法，屮线和角平分线有类似结论，可以解决-类题型，而且计算中直接使用公式，无需求解复杂方程，实属考试必备方法.解法6（构造法）：在AABC屮，D在BC上，AQ平分ZBAC,若解：过B做AC的平行线交AQ的延长线于点E,则AABD为等腰三角形,在等腰AABD中，AB=EB=3,ZE=ZSAZ）=30°,解得AE=3^因为MCD^AEBD,—=-=—=所以ADAEDEBDAB3解法评价：此法特别巧妙，偏向于喜欢几
6、何证明的学生，特别是喜欢三角形相似，角平分线定理证明的基本思路就和此做法比较相似；但是不容易想到，对于开拓学生思维比较好.AD平分ABAC,若解法7（正三角形法）在44BC中，D在BC上,AB=3,AC=,ZBAC=60°9贝・解：构造正三角形ABE,过A作BE平行线交BC延t线于H・AC1为了使用—ACH^ECHCE2所以AH=BG=^BE,所以AD=-AG=^-・224解法评价：此法特别巧妙，尚不知道怎么想到的，好像利用正三角形解题是一种解法，木人对几何证明不熟悉，不知道能不能扩展为通法.解法8（构造等腰三角形）在ABC中，D在BC上，AD平分ABAC,若AS=3,AC=l,
7、ZBAC=60°,则AD=解：过C做AD平行线交B4延长线于点E.在等腰AACE中（角平分线加平行线必出等腰）,AE=AC=,ZEAC=nO°,丿斤以CE=V^・竺少亠aCEBE44解法评价：平行线和角平分线还是比较般配的，常常出现等腰三角形，然后利用比率解题速度还是很占优势.解三角形是新课标全国卷考查的热点，考查内容综合了三角函数的诱导公式、同角三角函数的关系、止余弦定理及三角形的面积等几何性质，稳中有变，在解三角形的问题中不能
