24.1.2 垂直于弦的直径 教学设计

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1、24.1.2垂直于弦的直径一、教学目标①知识与能力目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。②过程与方法目标：老师利用多媒体和教具创设情境，激发学生的求知欲望，学生在老师的引导下进行自主探索，合作交流，收获新知，通过分层训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。③情感态度与价值观目标：对圆的轴对称美始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。二、教学重点、难点教学重点：垂径定理的探索及应用；

2、教学难点：垂径定理的探索及对题设与结论的理解。三、教学方法探究、引导法四、教学过程设计：教师活动学生活动设计意图1、复习引入，揭示课题（3分钟）投影图片，由学生熟悉的“切水果”游戏入手，激发学生兴趣:问题：同学们切水果时第一刀习惯怎么切？数学中还有许多对称的图形，请学生识别，并能找到对称轴。学生对切水果感兴趣，认为从中间切比较均匀，比较爽，左右能形成对称。学生能准备识别轴对称图形，并能找到对称轴。学生自己动手操作，对折圆形纸片，能自己归纳出：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）由生

3、活中的有趣的游戏引入，吸引学生注意力，投入到要探究的内容中来。圆是轴对称图形吗?折一折：你能利用手中的圆形纸片说明圆是轴对称图形吗？画一画：(1)作一圆；(2)在圆上任意作一条弦AB；(3)过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。（板书课题：垂直于弦的直径）（3）圆的对称轴有无穷多条让学生自主探究，培养思考、操作、归纳等能力。学生自己动手画图，首先折两条直径找到圆心，然后根据描述准确作图，一步一步探索圆的轴对称性。⌒⌒1、师生互动，探索新知（9分钟）猜一猜：现在CD是一条垂直于弦的直径，那么请思考两个问题：（1）点A和

4、点B有什么位置关系？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？证一证：提问：这个结论是同学们通过观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它已知：CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB（小组合作探究）AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB学生可以从全等、等腰三角形三线合一等证明线段相等，至于弧相等，看学生是否能想到用叠合的方法进行证明，如果不能，老师提示等弧的概念，通过翻折达到完全重合。文字语言：小组成员之间分享探究的结果，和谐互助，得到完整的结果

5、。学生展示证明的过程，用不同的方法证明结论。遇到需要突破的难点时，老师及时点拨，师生合作探究。学生证完后，老师运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，再次验证结论的正确。由此，结论得以证明，老师让学生尝试用自己的语言叙述这个命题，老师再补充改正。（<板书>垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧符号语言：∵CD是直径，CD⊥AB∴AE=BE,弧AC=弧CB、弧AD=弧DB图形语言：三种语言是数学呈现的三种形式，让学生能灵活转换最佳。3

6、、概念辨析，运用新知（15分钟）垂径定理：条件：（1）过圆心；（2）垂直于弦；结论：（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。练习1：下列图形具备垂径定理的条件吗？学生分析知道条件有两个，结论有三个学生自己叙述垂径定理需要满足的条件，归纳出：直径，垂直于弦，缺一不可！直径的实质是要过圆心学生独立思考，回答步骤，老师板书，得出“弦心距”，再得到垂径定理常用的三角形模型。意图：剖析定理结构，理解其内涵，便于应用。明确能使用垂径定理的条件，要从理解上升到应用。例1：1、如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，

7、圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。变式1、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径是10cm,OE=6cm，则弦AB=（）cm。思考1：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，则R，a，d三者的关系式为。例2：（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗（结果保留小数点后一位）？思考：半径，半弦，弦心距，再加上弓高，一共有四个量，如果知道其中的几个，能够求出剩下的？学生迅速计算，很快得出结果，体会成功感，增强自信。归纳出：（1）

8、圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线或连接半径构造直角三角形，结合垂径定理与勾股定理等有关知识解题。（3）“半径半弦弦心距”是常用的基本模型。学生阐述解决实际问题的一般步骤，先将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，再结合条件解决问题。最后的计算也由学生完成，加强训练