二次函数的图像与性质 (13)

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1、2017年中考数学一轮复习第14讲《二次函数图像与性质》【考点解析】知识点一、求二次函数图象的顶点坐标【例题】（2016河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　（1，4）　．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，∴代入得：，解得：b=2，c=3，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．【点评】本题考查了

2、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．【变式】抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是　　．【答案】（1，2）.【解析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．试题解析：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．知识点二、二次函数图象的增减性及其其它性质【例题】（2015江苏常州）已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】根据二次函数的性质即可做出判断.【解析】抛物线的对

3、称轴为直线，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴，解得：．故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，能正确地判断出确定出对称轴是解题的关键．【变式】（2016•鄂州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y

4、＜0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【解答】解：由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞，故②错误；由图象可知OA＜1，∵OA=OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac﹣b+1=0，两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，即方程有一个根为x=﹣c，由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方

5、程的根，∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．知识点三二次函数的对称轴 【例题】（2015湖南怀化）二次函数y=+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．【答案】(－1，－1)；直线x=－1.【分析】将二次函数配成顶点式，然后得出顶点坐标和对称轴．【解析】y=+2x=－1，从而得出抛物线的顶点坐标(－1，－1)；对称轴直线x=－1．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解

6、函数的解析式的特点，是解决本题的关键．【变式】（2016·四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（　　）A．直线x=1B．直线x=﹣1C．直线x=﹣2D．直线x=2【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．【解答】解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1．故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶点坐标是（﹣，），对称轴为直线x=﹣．知识点四、二次函数的最大（小）值【例题】（2016•长沙）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结

7、论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．【解答】解：∵b＞a＞0∴﹣＜0，所以