§1.2数列极限

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1、§1.2数列极限一、引例1、割圆术:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.——刘徽播放正六边形的面积A1,正十二边形的面积A2,…………正6×2n-1边形的面积An.A1,A2,A3,···,An,···S2、截杖问题：“一尺之棰,日截其半,万世不竭”.第一天截下的杖长为X1=第二天截下的杖长之和为X2=第n天截下的杖长之和为Xn=…………二、数列的定义例如:2,4,8,···,2n,···;记为{2n}.定义:按正整数1,2,3,···编号依次排列的一列数x1,x2

2、,···,xn,···(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,xn称为通项(或一般项).数列(1)记为{xn}.记为记为记为注意1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取x1,x2,···,xn,···注意2.数列是整标函数,即定义在正整数集合Z+或自然集合N上的函数xn=f(n).播放三、数列的极限观察数列当n→∞时的变化趋势播放观察数列当n→∞时的变化趋势问题:当n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过对上面演示实验的观察:当n无限增大时,

3、数对极限仅停留于直观的描述和观察是非常不够的.凭观察是不能判定数列的极限.无限接近于1.问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?列这就是“当n无限增大时,xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述.定义:设数列{xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于n>N时的一切xn,不等式

4、xn–a

5、<都成立,那么,就称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为或xn→a(n→).如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限,或者说数

6、列{xn}是发散的,习惯上也说不存在.注①:此极限定义习惯上称为极限的–N定义.它用动态指标和N刻画极限的实质,用

7、xn–a

8、<定量地刻画了xn与a之间的距离可以任意小,即任给>0,标志着“要多小可以有多小”的要求,用n>N表示n充分大.这个定义有三个要素:10,正数;20,正数N;30,不等式

9、xn－a

10、<(n>N以后的所有xn).注②:定义中的N是一个特定的项数,与给定的有关,有时记作N().重要的是它的存在性,它是在相对固定后才能确定,且由

11、xn–a

12、<来选择.一般说来,越小

13、,N越大,但须注意,对于一个固定的,合乎定义要求的N不是唯一的.用定义验证xn以a为极限时,关键在于设法由给定的,求出一个相应的N,使当n>N时,不等式

14、xn–a

15、<成立。四、数列极限的几何意义若则>0,N,使得N项以后的所有项xN+1,xN+2,xN+3,······都落在点a的邻域(a–,a+)内.因而,在这个邻域之外至多有数列中的有限个点.这表明:若xn→a(n→),则{xn}所对应的点列,除了前面有限个点外的所有(无穷多)点都能凝聚在点a的任意小邻域内,到一定程度时,数列{x

16、n}中的项其变化是很微小,呈现出一种稳定的状态,这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”,也称a为“聚点”.注意:数列极限的定义未给出求极限的方法.例1:已知证明:由于因此,则当n>N时,就有

17、xn–0

18、<得证利用定义验证数列极限,遇到的不等式

19、xn–a

20、<不易考虑时,往往采用把

21、xn–a

22、适当放大的方法.若能放大到较简单的式子,就能从一个比较简单的不等式较容易寻找项数指标N.①放大后的式子较简单;②放大后的式子以0为极限.放大的原则证:>0,N,使得n>N时,恒有

23、xn-a

24、<1=五、收敛数

25、列的性质1.有界性定义:对数列{xn},若存在正数M,使得一切的正整数n,恒有

26、xn

27、M成立,则称数列{xn}为有界的,否则称数列{xn}为无界的.例2:从而有故例如,数列有界,数列无界.在数轴上,对应于有界数列{xn}的点都必须落在闭区间[–M,M]上.定理1:收敛的数列必定是有界的.证:由定义,取=1,则N,使得n>N时,恒有

28、xn–a

29、<1,注意:有界性是数列收敛的必要条件.推论:无界数列必定发散.

30、xn

31、=

32、xn-a+a

33、

34、xn-a

35、+

36、a

37、<1+

38、a

39、记M=max{

40、x1

41、,···,

42、

43、xN

44、,1+

45、a

46、}则对一切正整数n,恒有

47、xn

48、M,故数列{xn}有界.从而有则有2.唯一性定理2:收敛数列的极限是唯一的.分析:由数列极限的几何意义知,>0,则N,使得n>N时,xn(a–,a+),即在a的任一邻域内聚集着xn中的无穷多个点,而在该邻域之外至多有xn中的有限个点.证:用反证法.不妨设aN1时,恒有又N2,使得n>N2时,恒有取两者矛盾.取N=max{N1,N2},则当n