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《2017届高三数学跨越一本线（文理通用）：问题5.2数列中的最值问题（原卷版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2017届高三数学跨越一本线精品问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与S”有关的最值、求满足数列的特定条件的比最值、求满足条件的参数的最值、实际问题屮的最值及新定义题型屮的最值问题等.题型一：求数列的最大项或最小项［禺-1W臼〃，求数列中的最大项的基本方法是：（1）利用不等式组、（〃22）确定数列的最大〔禺三日卄1［8n—1曰小项；（2）利用不等式组一522）确定数列的最小项.（3）利用函数或数列单调性求匕W禺+i最大项或最小项.【例1］己知数列｛%｝的通项公式
2、为a广。,求｛色｝的最大项・n+156■an>【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足彳”的比的值.a»%【解法一】基本不等式法.a=——=——，因为川+口^>2nx^-；当1=1.仅当川=丄西，即n=吋,h+156斤
3、156nnn而，V144-―3解得^<13或n巴12rT+156（用+1），+156②当以让即;7五z77+1（77-I）2+156由于neN*,
4、所以川=12或川=13时a川最犬.【评注】解法一是是利用基本不等式求解，解法二是通过确定满足彳””和的〃的值，从而—色-1找到最大项【小试牛刀】在数列&｝中，禺=（刀+1）借^（〃GN*）.（1）求证：数列｛崩先递增，后递减;（2）求数列｛/｝的最大项.题型二：数列前刀项和最值问题公差不为0的等差数列的前刀项和的最值问题在高考中常出现，题型有小题也有大题,难度不犬,求等差数列前门项和最值的方法有：⑴利用中项的单调性，求出其正负转折项•⑵利用二次函数的性质求最值.公差不为0的等差数列的前〃项和S.=
5、Arf+Bn^B为常数）.（3）利Sn^Sn-y第恥求吠的最值.【例2]在等差数列仙中，岔=7,公差为d前刀项和为当且仅当/2=8时$取最大值，则d的取值范圉是【分析】知幼和$最尢可以求出$关于d的表达式是关于77的二次函数，再用二次函数的最值来解决；还可用匸最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大.【解析】（2）方法一（通法）：由于AT"：。「；设f（x）=少+则其團象的对称轴为直线x=#-寸当且仅当8时9取得最大直故7・5<扌一品・5,7解得_1<水一录7方法二（优法）:由题意，得
6、越>0,^<0,所以7+7力0,且7+8水0,即一1〈水一RO【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】设等差数列｛陽｝的前〃项和为S”，且满足S[7>0,S18<0,则色，虽，…,Sqa215中最大的项为（）A.爼a7D.泡Q[0题型三：求满足数列的特定条件的〃最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列｛%｝是等差数列，若《V-1,且它的前n项和S”有最大值,那么当S”取得最小正值时,n等于（）A.17B.16C.15D.14【分析】利用等差数列的性质求前〃
7、项和的最值.【解析】・・•数列｛坷｝的前n项和有最大值，.••数列｛色｝为递减数列，又鱼<-1,>0,他v°且玛+@v°，又S]5=以"+。15)-15込>0,516="⑷+=S(as+a9)<0,22故当/?=15时，S”取得最小正值，故选C.【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列仪”｝各项为正数，且。2=4同，％严尤+2色(朋“).(I)证明：数列｛log3(l+d”)｝为等比数列；(II)令btt=log3(1+,数列他｝的前h项和为7；,求使7；〉345成立吋n的最小值.
8、题型四：求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知S”为各项均为正数的数列｛色｝的前〃项和,4g(0,2)&+3g”+2=6S“.(1)求｛①｝的通项公式；(2)设bn=—,数列他｝的前n项和为7；,若对V«gNt<47；恒成立，求实数t的最大值.【分析】(1)首先求得®的值，然后利用jLS”的关系推出数列｛%｝为等差数列，由此求得｛an｝的通项公式；(2)首先结合(1)求得仇的表达式，然后用裂项法求得7；,再根据数列｛7；｝的单调性求得f的最大值.【解析】⑴当h
9、=1时,由q；+3°尢+2=6Sn9得oj+3兔+2=6%即oj-3°]+2=0.又axe(0s2),解得©=1・由a；+3an+2=6S^可知a；』+3%+2=6SnA.两式相减，得归一恋+3(%-4)=6a“即(％+冷)(％-禺一3)=0•由于冷>0,可得^>2-1-^-3=0,即a—]-冬=3,所以｛$｝是首项为1,公差为3的等差数列，所以勺=1+3S-1)=3川-2・⑵由an=3/?-2，可得£fl<11)1+<4)<4_7>(11Yn<3^-23〃+1丿3斤+1(3〃一2
