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《2017届高三数学跨越一本线（文理通用）：问题5.1等差数列、等比数列的证明问题（原卷版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2017届高三数学跨越一本线精品问题一：等差数列、等比数列的证明问题翻看近儿年的髙考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是•等差数列的判定与证明方法主要有：⑴定义法：&厂如心N2,胆为同一常数o&｝是等差数列；⑵等差中项法：2z=禺一i+/+i（刀32,/?GN*）成立＜=＞｛$“｝是等差数列；⑶通项公式法：an=p/i+qgQ为常数）对任意的正整数门都成立O&｝是等差数列；⑷前n项和公式法：验证数列⑹的前刀项和为常数）对任意的正整数刀都成立o｛&｝是等差数列；（5）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项為
2、弘+】,亦2,使得这三项不满足2站尸❺+盼2即可.等差数列的判定与证明方法主要有：（1）定义法：将已知中提供的递推关系式，或者是/与£的关系式进行化简，转化为数列3｝屮相邻两项之间的关系，在/工0（/址心的前提下,若空=q（q为非零常数）或旦=q（g为非零常数,心2且用2）,则&｝是等比数列.（2）等&ncin—1比中项法：数列&｝中，禺工0,如果根据己知条件能得到為=禺•亦2（用N）,则数列&｝是等比数列.（3）通项公式法：观察已知信息，或者计算出数列的通项公式，若可以写成c•厂5,q均是不为0的常数,D,则｛廟是等比数列
3、.（4）前刀项和公式法:若数列｛%｝的前刀项和Sn=k・q~k（k为常数且30,狞0,1）,则数列&｝是等比数列.（5）性质法:利用等比数列的性质进行判断或证明.（6）数学归纳法.一、利用等差（等比）数列的定义用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子曾-色―=d和6z/I+1-an=d有差别,前者必须加上“详2”，否则〃=1吋q无意义；在等比数列中—•样有：卅22吋,有d=・・=q（常数qHO）；时•，有纽二…二q（常数qHO）.%%35【例1］设数列｛/｝的前“项和为Sn,已知创=1,型=二禺=［，且当心2时,4S
4、+2+5S=8$+i+Sz-n⑴求禺的值;（2）证明：，为等比数列;（3）求数列｛/｝的通项公式.【分析】在本题中条件“43+2+5$=8®m+$t”SM2）是关键.要充分利用弘与$•的关系来解题，配凑出弘+2,弘H,日”的关系式，从而利用定义来证明等比数列；笫3问中要利用第2问的结论，求出卜+】一討的通项，再用该递推关系求出弘【解析】⑴当刀=2时，4厶+5$=8$+$,即4仙+&2+$3+&1)+5(&+日2)=8仙+型+自3)+划整理得戲=坐尹，T?_3rri'i_Z又32—2＞日3—孑所以＜3
5、_§•⑵证明：当4时,有
6、41+5A81+j即4^7+43+9=41+41+—所以4（1一£-L）=4（£-i-£）-（£-£-i）j—=』心2)・经检殓，当时，上式成立.1a^-2~~as-i因为——十•'1严一鬥11*1〕—一a—1—aJ2_2<271_1乞7一§乞flr-L-"SrW为常数，且赴弓=41乞7一二足所以数列,2〔是以1为首项，制公比的等比数列.⑶由⑵知,亦1一务?“=击(刀丘2),等式两边同乘以2",得2ZU/+1—21ari=2（/?eN-）•又2%=1,所以数列⑵宀揃是以1为首项,2为公差的等差数列,277—1所以2厂匕=2门
7、一1,即a=^—（n^.则数列｛/｝的通项公式为爲心）.丄彳卄22日"+1]i-=7爲卄1~23/）【点评】证明数列丿如一札成等比数列的关键是利用己知得出【小试牛刀】【2017江苏省苏州测试】在数列｛勺｝中，已知^=2,a曲=3陽+2m_1.(1)求证：数列｛%+〃｝为等比数列；(2)记仇=乙+(1-2”且数列仇｝的前〃项和为7；,若7；为数列｛7；｝中的最小项，求2的取值范围.二、运用等差或等比中项性质色+d“+2=2g“+iOa｝是等差数列，at]all+2=anJ｛an主0)u>｛a”｝是等比数列,这是证明数列｛色｝为
8、等羌(等比)数列的另一种主要方法.【例2】正数数列｛色｝和｛仇｝满足：对任意口然数畑%,亿，色°成等差数列，仇，d网，仇+
9、成等比数列•证明：数列｛、庇｝为等差数列•【证明】依题骯a丸>0,毎>0,2®=a丸+且=卩帚,an=J乞-14(刃》2)・2加=y/^n-l^n+J®方》1・由此可得2范=反+応・即応-H賦-甌E・二数列｛扳｝为等差数列.【点评】本题依据条件得到5打“的递推关系，通过消元代换构造了关T蚯｝的等差数列,使问题得以解决.通过挖掘S”的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理人大简化了计算.
10、【小试牛刀】已知等比数列&｝的公比g=—仃)若日3=¥，求数列｛/｝的前刀项和；(2)证明:对任意圧N*,弘越+2,越+】成等差数列.三、反证法解决数学问题的思维过程,-•般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运第最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时
