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《李广全-高等数学（工科类专业适用）教案3.2.1定积分的概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.2.1定积分的概念教学目标：理解定积分的概念及几何意义。教学重点：定积分的概念。教学难点：定积分的概念的理解。授课时数：2课时.教学过程过程备注探究1.面积问题如何计算由曲线和直线x=0.x=l>y=0围成的图形（图3・4）的面积呢？图3-4图3-5冋想第1章曾介绍利用“割圆术”求圆周长的方法，现在继续用这种思想求上述图形的面积.设所求面积为第1步：以矩形面积做面积加的近似值.通过作直线x=-,x=-f……，x=—把面积力分成〃个条形,nnn直线与曲线y=F的交点做平行于X轴的直线，即可得到〃个矩
2、形（图3-再过上述5）,这些矩形面积的和就是面积力的近似值容易看出：每个矩形的宽都是上,n高分别为动画演小图3・4面积的求法总结求解步骤2x=—,n■、9x=-=l处的函数值，于是2n-1x=1+—•nj丄円丄⑺n)n)=A(F+2?+……+/).n利用公式12+22+……+/=空(刃+1)(2/7+1)得,6第2步：利用极限思想求面积由图3・5可以看到，随着矩形个数的增加(当〃增大时)，心和/越接近.因此，所求面积/为矩形面积和的极限，即(77+1)⑵7+1)1A=limAn-lim；=
3、-.”一>8//—»«>6”厶3一般地，由曲线7=/(x)和直线x=o、x=b.y=0围成的的平而图形称为曲边梯形(图3-6).K面来计算曲边梯形的面积y=Ax）oabx图3・6J图3-7(1)用直线X=X[fX=X2,,X=将面积力分成刃个等宽的小曲边梯形(如图3・7所示)，每个小曲边梯形的宽都是山=匕・这时，区间[。，们被分成n〃个小区间：[x0,X)],[X],兀2]，，[x”_
4、,x”](其中xQ=a,xn=b),(2)用宽为Ax、高分别为函数y=/(x)在每个小区间右端点处的函数值的矩形面积
5、来近似代替对应的小曲边梯形面积，这些矩形面积的和就是面积力的一个近似值/“・于是4,=/（X]）•山+/（兀2）•山++/（G1）•心+/（©）•山=£/（兀）心•/=1(3)上述和的极限就是所求曲边梯形的面积，即A=limAn=lim工/(兀)Ax•"Too"->oo/=1事实上，可以用区间[X-,xj上任意一点&处的函数值/(§)代替其右端点的函数值f(x.)(/=1,2,……，”)作为小矩形的高，每个小区间的长度即小矩形的宽也可以是不相等的山2,……Ax;,.在最大的小区间长度趋向零的条件下,可
6、得到汁算曲边梯形面积的更一般的结果（“Too）/=1其中>l=max{AxHA¥2,,Ax”},如图3-8所示.演示曲边梯形的面积的求法总结求解步骤强调更一般的结果y=Ax)III.ox^aXiT&Xix=bA图3-82.路程问题作直线运动的物体，若在固定的时间内速度是不变的，则路程可以用公式路程二速度X时间求出.但是，如果速度是变化的，路程不能用上述公式计算.那么，怎样计算做变速直线运动的物体在固定时间内经过的路程呢？我们看下面的例子.某物体做变速直线运动，已知速度为V=V(r)是时间(的连续函数，
7、采用类似于计算曲边梯形面积的方法，计算该物体在时间段⑺，巧］经过的路程.(1)把时间区间⑺则］分成“个小段“0，f］］'“［，叨，，［"一1，“］'一1，—］(其中，0_G近),(2)记第，段时间的长度为0.任取一点纟“心』］,用这一刻的速度卩(即代替小段时间口十门上的速度，得到第Z段时间物体经过的路程的近似值v(^)A/z(Z=l,2,……，77).将物体在每小段时间经过路程的近似值相加，可以得到在时间段［7］,农］经过路程的近似值,即n—M+啼2)•事2++嚇-1)•M++w佥)•M-Z临)G•/
8、=1(3)在最大的小段时间长度趋向于零的条件下，S”的极限就是所求的路程S,S=lim/t—>0・((HToo)/=，其中©w比-1，切，2=max{AZ］,Ar2,,tn}.在教师引领下共同完成50’新知识上面两个问题，虽然实际意义不同，但解决问题的方法完全相同，都是计算一种和式的极限.类似的问题还有很多，因此我们有必要对一般的这类和式的极限问题进行研究，这就是定积分问题.设函数/(兀)在区间［a,b］上有定义,任取分点a=xQv兀］v兀2<<9、_
10、,Xj］(Z=l,2,3,••-,n),记Arz=xz-x,--!(/=1,2,3,••-,/?),Q=max{心1，山2,…，山"}，在每个小区间教师讲授70，［g,兀］上任取一点6(7=1,2,3,…，小做乘积的和式£/(§)込•，如/=1果2T0时上述和式的极限存在，则称此极限值为函数/(X)在区间［G,们上的定积分，记为rH£f⑴&=lim工/(^)Arz・(3・3)U/=1其中J称为积分号，/(X)称为被积函数,/(x)dx称为被积表达式，
