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《李广全-高等数学（工科类专业适用）教案1.1.1反函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.1.1反函数教学目标：(1)复习、理解函数(含分段函数)的概念、函数的性质、几种常见函数;(2)学习反函数的概念，及反正弦函数、反余弦函数、反正切函数；(3)介绍微软高级计算器Mathematics4.0o教学重点：(1)函数知识复习(衔接高职阶段知识)；(2)反函数。教学难点：反函数的概念授课时数：2课时教学过程过程备注引言介绍本学科学习要求及本章主要内容。知识回顾我们曾经学习过函数的概念.大家知道，在某个变化过程中，有两个变量兀和y,设D是实数集的某个子集，如果对于任意的xgD,按照确定的法则，变量y总有唯一确定的数值与之对应，那么变量y叫做变量兀的函数，记作y=/(x).其屮
2、兀叫做自变量，y叫做因变量，实数集D叫这个函数的定义域.自变量x取定义域D中的数值兀°时，对应的数值儿叫做函数y=/(x)在兀°点处的函数值，记作/(勺)或川*初・当兀遍取D内的所有数值时，对应函数值所组成的集合叫做函数的值域.定义域和对应法则是函数的两个要素.在定义域的不同子集内，対应法则由不同的解析式所确定的函数称为分段函数.例如，兀，x<0,f(x)=1.其中x=0,尤=1称为分段函数/(兀)的分段点・函数性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。学习过的几类函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数。通过幻灯片演示引领学生回顾30'问题一个装有液体
3、的圆柱形容器，其底面直径为D,高为力，则容器内液体体积y与液面高度兀的函数关系为y=丄nD2x・4知道液面高度兀，就可以知道容器内液体体积y.反过来，知道了容器内液体体积y,如何求得液面高度兀呢？引领学生讨论完成35’新知识解决提出的问题Z前，先来研究函数图像的一个特征.作出函数y=2x+l与函数y=x2的图像（图1・2）.观察图像发现，函数尸2x+l的图像（图1・2（1））与任何水平直线相交的交点最多有一个，具有这种特征的函数称为一对一函数；而函数y=x2的图像（图1・2（2））与水平直线相交的交点会多于1个，具有这种特征的函数称为非一对一函数.⑴⑵图1-2对于一对一函数，值域中的每
4、个函数值只有唯一的一个自变量值与之对应，因此可以用函数y來表示自变量兀.例如，）匸2兀+1可以写成兀二宁，这样就构成一个以函数值y为自变量的新函数，叫做原来函数的反函数.按照数学习惯，仍然用字母x表示自变量，用字母y表示函数.这样，函数兀+1的反函数就是x-1函数代r）的反函数一般记作•如f（x）=2x+的反函数为广（x）=耳.函数＞-2x+l与其反函数y=—的关系如图1-3所示.2X-1y=2x+ly=—图1—3显然，函数/（x）的定义域是反函数/-'«的值域，函数/（兀）的值域是反函数广I兀）的定义域.求一对一函数的反函数的基本步骤是：45,知识巩固—例1求函数y=^的反函数，并
5、在同一个直角坐标系内作出它们的图像.（1）用函数y来表示自变量兀；（2）自变量和函数互换字母.学生练习教师检查辅导解函数y=4x的定义域为［0,+oc),值域为［0,+oo).将$=長两边平方，整理得x=j2.互换字母得y=x2・由于函数尸依的值域为［0,+oo),故函数y=^c的反函数的定义域为［0,+oo).因此所求反函数为y=x2(xe.［0,+oo)).函数的图像如图1・4所示.55'链接软件演示利用MicrosoftMathematic4.0(简体中文版)作出函数的图像60'新知识显然，不同角的同名三角函数值有可能相等，例如sin-=sin—=丄.也就是662说.正弦函数图像
6、与平行于x轴的直线)=*的交点会多余一个(图1—6),所以三角函数不是一对一的函数.为保证三角函数存在反函数，需要改变三角函数的定义域，使之在所定义的区间上为一对一的函数.因此将反三角函数定义如下：记作y=arcsinx,正弦函数y=smx^［--,-］±.的反函数叫做反正弦函数,定义域为［-1,1］,值域为,函数图形如图1-7(1)所示..22余弦函数y=cosx在［0,兀］上的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccos^,其定为保证三角函数存在反函数，需要改变三角函数的定义域，使之在所定义的区间上为一对一的函数.因此将反三角函数定义如下：记作y=arcsinx,正弦函数y=smx^
7、［--,-］±.的反函数叫做反正弦函数,定义域为［-1,1］,值域为,函数图形如图1-7(1)所示..22余弦函数y=cosx在［0,兀］上的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccos^,其定义域为卜1,1］，值域为［0,7i］,函数图形如图1-7(2)所示.正切函数y=tanx在上的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx,22其定义域为(-oo,+oo),值域为(-
8、,
9、),函数图形如图1—7(3)所示.80'做_做教师利用高级计算器依
