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《李广全-高等数学（工科类专业适用）教案1.3连续》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1・3连续教学目标：(1)理解函数连续性的概念，能结合图像判断函数的连续性;(2)会利用初等函数的连续性求函数的极限；(3)了解闭区间上连续函数的性质。教学重点：函数连续性的概念；教学难点：闭区间上连续函数的性质的理解。授课时数：2课时.教学过程过程2—Xy<1观察函数f(x)=?，、，的图像(图1—14),曲线在*2附近是连续的,x-h兀三1并且lim/(x)=3=/(2)；曲线在兀=1处是断开的,此时/(I)=0,而lim/(x)不存xt2x-»1在.y知识巩固X,xv0，例1设函数/(x)=x*2,OWxWl,试讨论函数在*0及*1处
2、的连续性.4—3-2一1111—O111一3-2-1O123-1图1-14新知识设函数y=f(x)在点Xq处及其近旁有定义，且lim/(x)=/(x0),则称函数y=f(x)在点勺处连续，点％叫做函数y=/(x)的连续点.如果limf(x)=/(x0),那么称函数=/(a)在点兀°左连续；如果XTX()_limf(x)=/(x0)»那么称函数y=/(x)在点必右连续.•fo"可以证明，函数J=f(x)在点兀0连续的充要条件是函数在勺处既左连续，又右连续.由此可知，函数y=/(兀)在点必处连续必须满足下面三个条件:备注课件演示图像教师引导学生
3、观察10’20(1)函数y=f(x)在点勺处及其近旁有定义；(2)lim/(x)存在，即limf(x)=limf(x)；XT切一XT期/(3)lim/(兀)=/(*())•上述三个条件中，只要有一条不满足，函数y=f(x)在点勺处就不连续，此时点兀()称为间断点由此可知，x=2是图1一13所示函数的连续点，而兀=1是该函数的间断点.因此图1-15在区间/上的每一个点都连续的函数，叫做在区间/上的连续函数，或者说函数在区间/上连续，区I'可/叫做函数的连续区间.如果区间包括端点，那么区间/上的连续函数在右端点处左连续，在左端点处右连续.x,x
4、<0,观察图1一15知,(-oo,l］、(1,+co)均为函数f(x}=xOWxWl,的连续区间.2,x>l.练习］.3.1兀—1,设函数/(x)=2x2,3—x,OWxWl,x>1.（1）作出函数图像，讨论函数在兀=0及兀=1处的连续性;（2）指出函数的连续区间.1.利用函数的连续性求极限新知识在1丄2中学习了初等函数，知道初等幣数在其定义区间的图形是一条连续不断的曲线.因此初等函数在其定义区间内都是连续函数.利用这个特征可以方便地求出初等函数的极限.设/（兀）为初等函数，必是其定义域屮的点，则limf(x)=/(limx)=/(x0)
5、.x—>AqXT.中知识巩固例2计算liml9-x2.XT2解函数/（x）=V9-X2是初等函数，其定义域为[-3,3],2g[-3,3].所以limV9-?=V9-22=V5.a->22•闭区间上连续函数的性质观察我们已经知道，闭区间上的连续函数的图像是一条连续不断的曲线.设闭区间[a,b]上的连续函数y=f（x）的图像如图1—16所示，观察图像发现：M5)cy■■■Pa0■d《eb「m图1—16（1）函数/（兀）在点x=e时取得最大值M,即对任意的xe[a,b],都有/（x）W/（c）;（2）函数/（兀）在点x=p时取得最小值m,即对
6、任意的xe[a,b],都有/W>f（p）；（3）对于介于〃?与M之间的任意值C,存在[a,b],使得f©=C.学生课上完成教师讲评40’43’45'新知识一般地，闭区1'可上的连续函数.f(x)具有下列性质：性质1若函数/(兀)在闭区间⑺上］上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值；性质2若函数/(兀)在闭区间［⑦方］上连续，加和M分别为/(兀)在［a,b］上的最小值和最大值，则对介于加与M之间的任意实数C,至少存在一点使的/(^)=c.性质3若函数/⑴在闭区间［d,b］上连续，且f(a)•f(b)<0,则至少存在一点§w(d,b),使
7、得/(^)=0.性质3的儿何意义是：闭区间［a,b］上的连续曲线/(%),当两个端点分别位于x轴的上方与下方时，该曲线至少会穿过兀轴一次.设曲线与兀轴的交点为C(§,0),则有/©=0,即纟是方程/(%)=0的根.结合课件说明70，链接软件根据性质3,高级计算器编制了方程求解器，可以方便的求出一元川次方程的根.例如，用高级计算器解方程-?-3x+5=0(精确到0.0001)操作如下：1.设置小数位数为4；2.在输入窗口输入方程“-»_3兀+5=0”，点击输入；显示即方程的近似解为“1.154.教师引领演示75，练习1.3.21.计算下列极限
8、：(1)lim2v；(2)lim屮-八2；xt2xt3Jx+6+119(3)lim；(4)limsin2x.大toI+cosx32.利用高级计算器求方程x34-1.1x2+0.9
