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《李广全-高等数学（工科类专业适用）教案2.1.1导数的概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.1.1导数的概念教学目标：（1）研究曲线的切线问题，寻找求曲线上一点处切线的斜率的方法；（2）学习导数的概念；（3）分析曲线上一点处切线的斜率与导数之间的关系，学会求曲线上一点处的切线的方程。教学重点：（1）导数的概念；（2）曲线上一点处的切线的方程。教学难点：对导数的概念的理解。授课时数：2课时教学过程备注教师讲授引导学生回答5'教师讲授10，过程引宣介绍本章学习的主要内容。知识回顾设直线y=kx+b的倾斜角为。，点片（州,乃）和点呱,乃）为直线上的任意两点，则当兀］工勺时，直线的斜率为k=lana=—~—.问题3・P2y
2、・J•p』•fp0・L1•L■-1O1234*Xc；AX在平面解析几何中，我们将与圆只有一个交点的直线定义为圆的切线.如图2—1所示，直线厶是过圆周上一点P的切线.图2-1图2-2但是对其他曲线，这样的定义就不一定合适，例如，图2-2中的直线虽然与曲线只有一个交点，但是不能确定它们一定是曲线的切线.那么，对于一般曲线，如何定义和研究过曲线上一点P的切线呢？结合动画演示讲授新知识下面采用动态处理的方法定义一般曲线的切线.如图2-3所示，选取曲线上的任意点Q,做割线QP；然后让点Q沿着曲线趋近于点P,判断此时割线斜率的极限是否存在，
3、如果存在，就把以这个极限值为斜率的直线定义为曲线在点P的切线.大家知道，二次函数y=/的图像是抛物线。如图2—4所示，点P（1J）为抛物线上的点.依据上面的切线定义，求抛物线在点P（l,l）处的切线.设Q（X,F）为抛物线y=x2±任意一点，在点P（l,l）处，^X=X-为自变量的改变量（或自变量的增量），Ay=x2-1为函数的相应改变量（或函数的增量）.则割线0P的斜率为Ay_x2-1Axx-1当点Q沿着抛物线趋近点P时，AitO,此时xtI,割线QP的极限位置为P7；因为lim—=lim———-=lim（x+1）=2.a.
4、v->oArxtix—1x->i教师讲授与学生回答相结合30’故抛物线在点P（l,l）处切线的斜率为2.因此，切线P7的方程为y-=2(x-1),即y=2x-l.-般地，设P（So）是曲线/（兀）上的一个定点,CUy）是曲线/（x）±异于P的任意一点，则割线PQ的斜率为x-xQx-x0其屮。为割线PQ的倾斜角•当XTAo时,如果极限Ihn/⑴7（勺）XTXoX-Xq存在，那么，这个极限值就是曲线/（X）在点必处的切线M的斜率.在教师引领下共同完成做一做采用同样的思路来研究非匀速直线运动物体的瞬吋速度.设一个物体做非匀速直线运动
5、，其路程与时间的关系为S=5（f）.求该物体在r0时刻的瞬时速度v（r0）.在r（）附近的一段时间间隔内，即从r（）到r（）+3这段时间内，物体走过的路程为Av=5（r0+Ar）一s（t0）•当△/很小时，我们把变速运动近似地看成是匀速运动.因此，可以用这段时间间隔的平均速度，二山二$（5+山）_叭）ArAr近似地描述瞬时速度.由于速度是变化的，所以対任意的固定的△/,它只是一个近似值.但是，在△/无限变小的过程屮，平均速度，无限接近/（）时刻的瞬时速度讥/。）•因此，当&趋于零时，如果极限limAs=1.m<+Ar)-Xro)
6、a/toAr△/toAZ存在，那么，这个极限值就是变速直线运动的瞬时速度"&)•即v(rn)=lim-lim$(fo+山)-$(/())A/tOA/->0△7新知识以上两个例子的具体意义虽然不同，但抽象出的数量关系却相同一一研究函数改变量与自变量改变量之比的极限.教师讲授一般地，设函数y=/(x)在点兀°处自变量的改变量为Ax=x-x0,对应函数的改变量为Ay=/(x0+Ar)-/(x0),若当心TO时lim^—limMo+山)-Mo)"toAtAvtOAr607存在，则称函数y=/(x)在点兀。处可导，并将极限值叫做函数在点勺
7、处的导数(瞬时变化率).记作,字•J"或警・即X=A*0•0()y=lim4V=lim心)+心)(2.1)x=AoaxtOAxaxt()关于函数y二f(x)的导数有以下结论(1)若limM-lim/(兀。+心)一Mb)不存在，则称函数y=/(%)在点勺处不心-»0AvaxtoAx可导.(2)函数.f(x)在点勺处的导数的儿何意义是曲线.f(x)在点勺处切线的斜率.(3)若函数y=/(x)在区间(a,b)内的每一点处都可导，即对任意x^(a,b),极限lim屯一怙/(兀+37(")AxtOAxAatOAr都存在,则称“函数y=f(
8、x)在区间(a,b)内可导”.这时，函数对于每一点xW(a,b),都有一个确定的导数值与之对应，这就构成了X的一个新函数，这个新函数叫做函数歹=/(%)的导函数,记为fXx),y‘，字或4/W-Waxaxvz=lim—=lim/a+Ai)-/u)(2.2)Att
