李广全-高等数学（工科类专业适用）教案2.1.4微分.doc

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1、2.1.4微分教学目标：（1）学习函数微分的概念及计算；（2）会利用微分计算由参数方程确定的函数的导数。教学重点：函数微分的概念及计算；教学难点：函数微分的概念授课时数：1课时.教学过程备注过程知识回顾设点P（a,Ja））为函数y=jx）图像上的点,则曲线在点P处切线的斜率为3'结合动画演示讲授、f'3)•新知识如图图2-5所示，过。点作尤轴的垂线，交曲线过户点的切线于7、过P平行于x轴的直线于G.可以看到GQ=△），=ja+k）-Ja）,GT=.当。点沿着曲线无限趋近于p点时，r点也无限趋近

2、于p点，同时

3、7耕无限趋近于0.此时GT=.尸⑴耸无限趋近于△），.图2-510'-般地，设函数y=f（x）在点心处有可导，则尸（式0）蚩叫做函数），=/（人）在点X。处的微分,(2.4)此时称函数y=f（x）在点行处可微.可见，函数的微分与X。和At有关.知识巩在教例11求函数y=x2在x=l,心=0.01时函数的增量及微分.解△)，=(]+0.01)2一]2=[o2oi_i=oo2oi,dyx==广⑴•AxL=i=2x1x0.01=0.02.Av=0.0lAv=0.01新知识师引领下完成15,

4、教师如果函数y=f(x)在区间I内任意点工处可微，那么称函数在区间I内可微.记作dy=f'3)愆.特别地，由函数f(x)=X可以得到ck=A,于是，通常将函数y=f(x)的微分记作dy=f(x)dxf从而有半=/(》)•OX这就是说，导数是函数的微分dy与自变量的微分dr之商.故导数又称为微商.因此，对于由参数方程『=竺)'所确定的函数有[)，*(/)d)，_w'(t)山_W'U)dx(p(t)讲授22f知识巩固例12求由参数方程!’=1一〈所确定的函数的导数.解dy_〃)'d/_1—3广dx(1一

5、尸)'由-It*例13某一正方体金属的边长为2m,当金属受热边长增加0.01m时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？解设正方体的边长为X,则其体积为"=疽.体积的微分为dV=(x3)fdx=^x2clx=3x2Av将x=2,Aa=0.01代入上式，得在x=2,Ar=0.01处的微分dVx=2=3x22x0.01=0.12(/h3)Av=0.01在x=2,Ax=0.01处体积的改变量为△V

6、x=2=(2+0.01)3—23=0.012006Av=0.0l由此可见，AV

7、.v=2-dVx=2.k=0

8、.02k=0.02教师讲授30，练习2.1.41.求函数y=(2x+5)4在x=l,q=0.01时函数的增量及微分.2.求下列函数的微分2(1)y=3x2一三+5；(2)y=3x~2sinx；(3)y=cos(4一3x).学生课上完成42，辎新知识：函数微分的概念及计算，由参数方程确定的函数的导数。45，作业1.利用图2-5分析函数的增量与函数微分的区别；2.完成习题册作业2.1.4。