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《小学数学迎春杯第3讲数论教师版讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第三讲数论综合数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将來从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。知识概要整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和
2、思考的.下面我们先回顾一下相关知识：整除的概念a,b,c为整数，且bHO,如果a-b=c,即整数a除以整数b,得到的商是整数c且没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a,记作ba;否则，称为“不能被b整除，或是说b不能整除n.如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a的约数.整除的基本性质如果a,b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除.即：如果c
3、sc
4、b,那么c（a±b）如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即：如果be
5、a,那么ba9ca如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a.即：如果cb,hay那么c
6、a
7、如果b,c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a.即：6Ia,c
8、a,且（b,c）=l,则加
9、a数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0,2,4,6,8；能被3（或9）整除的数的特征：各位的数字Z和能够被3（或9）整除；能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能够被4（或25）整除；能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；能被7（或11、13）整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差能够被7（或1、11、13）整除；能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能够被8（或125）整除；能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和
10、与偶数位上的数字之和的差能够被11整除.1.质数与合数一个数除了1和它木身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数.比如2,3,7,37,….一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数•比如4,8,14,48,•・・・特别的：1既不是质数也不是合数.1.质因数与分解质因数(算术基本定理)如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.把-个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.比如：把42分解质因数应该是42=2X3X7,其中2,3,7是42的质因数.又如：54=2x3?,其屮2和3都是54的质因数.2.利用分解质因数求约数的个数一般地
11、，如果分解质因数有下列形式碑…必.其中5®,…心都是质因数，而儿4，・・£是指数，即对应A包含各个质因数的个数.1)那么A的所有约数的个数为3+1)(/>2+1)…(»+1)•比如：300=22x3x52,那么300的所有约数共有(2+1)(1+1)(2+1)=18个.2)那么A的所有约数的和为ab=(a,b)[a,b]«约数与倍数约数与倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸，就是在多个数Z间去研究公约数和公倍数，经常地应用最大公约数与最小公倍数解题.下面我们就先回顾基本的概念：1.公约数与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约
12、数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数.例如：12的约数有1,2,3,4,6,12.18的约数有1,2,3,6,9,18那么它们的公约数有1,2,3,6；其屮最大公约数为6.2.公倍数与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其屮最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数.例如：15的倍数有：15,30,45,60,75,90,105,120,….10的倍数有：10,20,30,40,50,60,70,80。90,….那么它们的公倍数有30,60,90,…是有无穷多个的；而最小公倍数却只有一个，为30.3.互质的概念如果两个数的最大公约数是1,那么这两个数
13、互质.显然的，两个不同的质数一定互质.4.辗转相除法求最大公约数5.最大公约数与最小公倍数性质1)分数的计算c)[a,c\_ac」(a,c)2)约倍关系ab=(a,b)[a,b]约数与倍数例题1甲数是36,甲乙两数的最小公倍数是288,最大公约数是4,乙数应该是解答：这里考察的是ab=(a,b)X[a,b]这个知识点代入即可算出乙数是32例题2今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆。每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分堆。解答：这是一个求最大公约数的题目，最多可分为14堆。例题3一年级有72名学生课间加餐费共交A52・7A
