二重积分的计算问题

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1、计算二次积分．分析若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．解由所给的二次积分，我们得积分区域，其中xOyRD1D2y=x图5是一个中心角为，半径为的扇形（图5）．因此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有因此小结(1)计算二重积分时，适当选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不仅影响到计算的繁简，甚至会影响到计算能否进行．(2)化直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的二重积分时，一般应1)首先把积分区域的边界方程

2、用极坐标表示；2)确定的范围，即在极坐标系下表示积分区域；3)用分别代换被积函数中的，并把面积元素用替代．6．计算二重积分，其中是直线及上半圆周所围成的区域．分析被积函数中含有因子，它用极坐标表示非常简单，积分区域的边界含有圆周，而圆周用极坐标表示也非常简单，故我们将所给的二重积分化为极坐标来计算．解在极坐标系下，的边界方程分别表示为（图6）图6因此这时可表示为于是．小结采用何种坐标计算二重积分，要从积分区域及被积函数两方面出发．当积分区域为圆域、圆环域、扇形域或圆环域被从原点出发的两条射线所截得的部分；被积函数

3、为等形式时可考虑采用极坐标．不适合极坐标者用直角坐标．7．计算，其中．分析积分区域为圆形域，因此可考虑采用极坐标计算，注意到积分区域关于都是对称的，而被积函数中关于都是奇函数，关于是偶函数，因此我们先用积分区域关于坐标轴的对称性以及被积函数的奇偶性简化运算．解，由于关于轴对称，被积函数关于是奇函数，是偶函数，又为圆域，故又的面积为，故,于是．小结(1)计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某相应变量的奇偶性简化运算．(2)当被积函数为两一元函数乘积，且各变量的上下界皆为常数时，把重

4、积分化为二次积分后，可分别各自独立的计算两个定积分，然后将结果相乘．8．计算，其中．分析由于被积函数中含有绝对值号，故必须先去掉绝对值号，才能进行计算．在中的符号是不确定的，为此根据被积函数的特点，将区域进行分割(见图7)，从而使得在每个子区域上有确定的符号．xOyD1D2D2-11图7解抛物线将分成上下两部分，分别记作，于是．小结被积函数中含有绝对值时，必须首先设法将绝对值符号去掉，如果在积分区域内，绝对值号内的式子的符号不确定，应依据绝对值号内的式子的特点添加辅助线把区域进行分割，使得在每个子区域内该式有确定

5、的符号．当被积函数含有偶次根式或被积函数为一般分段函数时，也往往要考虑将积分区域进行分割．作业习题9-1(78页)4(4)，5(4)总习题九(123页)2(3)，1(２，３)，４．