山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学专题复习 梯形的概念、性质与判定 新人教版

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1、山东省滨州市无棣县埕口中学中考数学专题复习梯形的概念、性质与判定新人教版2．等腰梯形的性质：等腰梯形中同一底上的两个角相等，两腰相等，两对角线相等，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，经过两底中点的直线就是它的对称轴．3．等腰梯形的判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形；对角线长度相等的梯形是等腰梯形．4．梯形的周长和面积：①梯形的周长即梯形四边之和；②梯形的面积＝(a＋b)h．【考试方向】除了考察基本知识点的简单题以外，梯形常常作为一个问题的载体，结合三角形、平行四边形，结合全等形、相似形，结合平移、轴对称和旋转，结合圆、锐角三角函数，结合平面

2、直角坐标系等问题来进行综合考察．也就是说，有关梯形的问题既可能比较简单，也可能出难题．梯形在中考里表现活跃，变化多样．本文谨从三个方面对梯形的概念、性质与判定做一简要讲解．【考点例析】考点1．考概念——正确理解基本概念例1．(根据2009年北京市西城区一模试题改编)已知：如图，△ABC中，AC＜AB＜BC．(1)过点A作BC的平行线l1，直线l2分别与AB、BC相交于点P、Q，交l1于点D．则四边形ADQC是_____________；(2)试在图中画出直线l1与l2，使得四边形ADQC是等腰梯形．【解析】对于(1)，根据平行四边形和梯形的定义，只存在两种情形，即四边形ADQC是

3、平行四边形或者是梯形；对于(2)，如图，设AB中点为P，以点P圆心，以AC长为直径作圆，分别交l1、BC于点D、Q，则四边形ADQC即是等腰梯形．【点评】本题先后考察了梯形和等腰梯形的定义．从对概念的理解出发，先作平行线，再一步步确定“等腰”，注意到中点的作用，本题将变得非常简单．此外，梯形和等腰梯形的定义是判定一个图形是梯形或者等腰梯形的重要依据．考点2．考方法——合理构造基本图形例2．(2010北京)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4．求∠B的度数及AC的长．【解析】解法1：如图，分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足．∴∠AFB＝∠

4、DGC＝90°．∵AD∥BC，∴四边形AFGD是矩形．∴AF＝DG．∵AB＝DC，∴Rt△AFB≌Rt△DGC．∴BF＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BF＝1．∴∠B＝60°．∵BF＝1．∴AF＝．由勾股定理，得AC＝2．解法2：过A点作AE∥DC交BC于点E．显然四边形AECD是平行四边形．∴AD＝EC，AE＝DC．∵AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，∴AE＝BE＝EC＝AB．∴△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形．∴∠BAC＝90°，∠B＝60°，∠BCA＝30°，BC＝2AB＝4．在Rt△ABC中，由勾股定得AC＝2．3【点评】解决梯形问题，一般要通过分割和拼接的方法将

5、问题转化为三角形或平行四边形(包括特殊的平行四边形)等基本图形的问题来解决，体现了平移、轴对称和旋转三大几何变换．概括如下：1．平移一腰，即从梯形一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图(1)所示)；2．从同一底的两端向另一个底作垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形(图(2)所示)；3．平移对角线，即过底的一端作对角线的平行线，与另一底相交，可以借助新得的平行四边形或三角形来研究梯形(图(3)所示)；4．延长梯形的两腰交于一点，得到一对相似的三角形，如果梯形是等腰梯形，则得到两个等腰三角形(图(4)所示)；5．以梯形一腰的中点为对称中心，作某图形的中心

6、对称图形(图(5)～(7)所示)；6．连结梯形两腰中点，作梯形的中位线(图(8)所示)．对于本题，同学们可以尝试其它的解法做一做，看一看你能不能另辟蹊径！例3．(根据人教版九年级上第88页第9题改编)已知：AB、CD是⊙O上的两条弦，且AB∥CD．求证：四边形ACDB是等腰梯形．【解析】如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，∵AB⊥CD，∴OE⊥CD．根据垂径定理，＝、＝，∴＝，∴AC＝BD，∴四边形ACDB是等腰梯形．【点评】一方面，在解决梯形问题时，要判断四边形是梯形，可以根据前面所述的梯形的三个定义来判断；要判断等腰梯形，可以从腰长相等、对角线相等或同一底上的两底角相等来判

7、断．另一方面，在综合问题中，要注意寻找知识连结的纽带，本题的纽带无疑是两条相等的弦，即AC＝BD考点3．考思想——灵活运用数学思想例4．如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H”型甬道，甬道宽度相等．甬道面积是整个梯形面积的．设甬道的宽度为x米．(1)求梯形ABCD的周长；(2)用含x的式子表示甬道的总长；(3)求甬道的宽是多少?【解析】(1)要求等腰梯形周长＝AB＋BC＋CD＋DA，根据已知条件只需求出A