计算机图形学课件第11讲二维变换及二维观察

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1、Theclassisbegin!2021/9/141信息科学与工程学院第6章二维变换及二维观察提出问题如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察图形变换的作用可由简单图形得到复杂图形，方便用户观察可应用户需求随时对图形进行连续几何变换2021/9/142信息科学与工程学院6.1.1齐次坐标引入目的：将齐次坐标技术引入到计算机图形学中，图形的变换可以转化为表示图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘这一单一问题，便于借助于计算机的高速计算功能得到变换后的图形，从而为高动态的计算机图形显示提供了可能性。6.

2、1基本概念2021/9/143信息科学与工程学院齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。如：在二维平面中，点p[x,y]的齐次坐标表示为[hx,hy,h]，h为任一不为0的比例系数。在三维、四维……n维空间中依此类推。可见，某点的齐次坐标是不唯一的。2021/9/144信息科学与工程学院保证齐次坐标惟一性的办法就是定义规范化齐次坐标表示。规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。规范化齐次坐标表示提供了用矩阵运算把二维、三维甚至更高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效办法。2021/9/145信息科学与工程学院在定义了规

3、范化齐次坐标后，图形变换可以表示为图形点集的规范化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘的形式。如，二维齐次变换矩阵，简称为二维变换矩阵为：2021/9/146信息科学与工程学院图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。6.1.2几何变换2021/9/147信息科学与工程学院6.1.3二维变换矩阵设p(x,y)为xOy平面上二维图形变换前的一点，变换后该点为p`(x`,y`)，通过引入规范化齐次坐标可进行如下变换：比例、旋转、对称、错切等变换平移变换投影变换整体比例变换2021/

4、9/148信息科学与工程学院6.2基本几何变换基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换【声明】在以下的讲述中，均假定用p(x,y)表示平面xOy上一个未被变换点，该点经某种变换后变为新点用p`(x`,y`)表示。2021/9/149信息科学与工程学院6.2.1平移变换平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。p点经平移变换后有：x`=x+Txy`=y+TyTx、Ty分别为x方向、y方向的平移矢量平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（rigid-bodytransformation）2021/9/1410信

5、息科学与工程学院引入齐次坐标和二维变换矩阵后，平移变换的计算形式可写为：6.2.1平移变换[x`y`1]=[xy1]*=[x+Txy+Ty1]平移变换矩阵2021/9/1411信息科学与工程学院6.2.2比例变换比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。p点经比例变换后有：x`=x.Sxy`=y.SySx和Sy称为比例系数2021/9/1412信息科学与工程学院引入齐次坐标和二维变换矩阵后，比例变换的计算形式如下：6.2.2比例变换[x`y`1]=[xy1]*=[x.Sxy.Sy1]比例矩阵2021/9/1413信息科

6、学与工程学院6.2.2比例变换比例变换可改变物体的大小2021/9/1414信息科学与工程学院可推导得，当Sx=Sy时，称为整体比例变换，可用以下矩阵进行计算:6.2.2比例变换[x`y`1]=[xy1]*=[xyS]=[x/Sy/S1]考虑：S>1、0

7、inα于是p`(x`,y`)：x`=rcos(α+θ)=…=xcosθ-ysinθy`=rsin(α+θ)=…=xsinθ+ycosθ2021/9/1417信息科学与工程学院可推导得，逆时针旋转θ角的齐次坐标计算形式为：练习：顺时针旋转θ角?6.2.3旋转变换[x`y`1]=[xy1]*=[xcosθ–ysinθxsinθ+ycosθ1]2021/9/1418信息科学与工程学院当θ(此时为弧度值)很小时，cosθ≈1,sinθ≈θ,则简化计算形式：6.2.3旋转变换2021/9/1419信息科学与工程学院6.2.4对称变换对称变换（反射变换、镜像变

8、换）后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。2021/9/1420信息科学与工程学院6.2.4对称变换2021/9/14