计算机图形学教案第6章二维变换及二维观察.ppt

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1、第6章二维变换及二维观察本章要解决的问题■如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换■如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察6.1基本概念■齐次坐标用n+1维向量表示一个n维向量━齐次坐标表示法(P1,P2,…,Pn)→（hP1,hP2,…，hPn,h）h称为哑坐标说明：①h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。（2,3）→(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。②普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h→齐次坐标由齐次坐标÷h→普通坐标③当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。(x,y)点对应

2、的齐次坐标为(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线规范化齐次坐标的作用：可将图形变换表示为图形点集规范化次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式。如：■几何变换对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。■二维变换矩阵二维空间中某点的变换可以表示成点的齐次坐标与3阶的二维变换矩阵T2D相乘：二维变换矩阵6.2基本几何变换相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换。■平移变换将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换。Tx，Ty称为平移矢量变换矩阵例：已知点P（20，30），求平移

3、（Tx=20,Ty=15）后的坐标。■比例变换对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比例系数。变换矩阵以坐标原点为放缩参照点■旋转变换将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。逆时针旋转θ角αθρ(x,y)(x´,y´)例：求P(2,1)逆时针旋转30°后的坐标。当θ很小时，简化计算：■对称变换原图形关于某一轴线或原点的镜像。当b=d=0,a=1,e=-1时，与x轴对称：当b=d=0,a=-1,e=1时，与y轴对称：当b=d=0,a=e=-1时，与原点对称：当b=d=1,a=e=0时，与y=x对称：当b=

4、d=-1,a=e=0时，与y=-x对称：■错切变换也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。1)当b=0时，图形的y坐标不变；当c>0：图形沿+x方向作错切位移。当c<0：图形沿-x方向作错切位移。2)当c=0时，图形的x坐标不变；当b>0：图形沿+y方向作错切位移。当b<0：图形沿-y方向作错切位移。■二维图形几何变换的计算几何变换均可表示成P’=P*T的形式1.点的变换2.直线的变换3.多边形的变换4.曲线的变换6.3复合变换·图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘。·任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。复合变换具有形式：■二维复合平移P

5、(x,y)•••P(xy1)P*(x*y*1)（Tx1,Ty1）（Tx2,Ty2）得到二维复合平移矩阵：相加性■二维复合比例•••P(x,y)P(xy1)P*(x*y*1)（Sx1,Sy1）（Sx2,Sy2）二维复合比例矩阵：相乘性■二维复合旋转•••θ1θ2P(x,y)P(xy1)P*(x*y*1)二维复合旋转矩阵：相加性■二维多种复合变换例：将P(2,3)平移（Tx=5,Ty=6）后再比例(Sx=2,Sy=0.5)变换。■相对任一参考点的二维几何变换相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：(分解成基本的几何变换）(1)平移。(2)针对原点进行二

6、维几何变换。(3)反平移。例1.相对点(xF,yF)的旋转变换T(-XF,-YF)•R(θ)•T(XF,YF)30º（1，1）(2.5,1.5)(Xp,Yp)T(-1,-1)•R(30º)•T(1,1)例2.相对点(xF,yF)的比例变换T(-XF,-YF)•S(Sx,Sy)•T(XF,YF)（1，1）(2,1.5)(Xp,Yp)T(-1,-1)•S(2,2.5)•T(1,1)Sx=2,Sy=2.5■相对任意方向的二维几何变换相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是：(1)旋转变换(2)针对坐标轴进行二维几何变换；(3)反向旋转例3.相对直线y=x的反射变换①将直线顺时针旋转θ角：

7、②图形关于x轴的反射变换：••(x,y)③将(x,y)逆时针旋转θ角：••(x,y)可得复合变换矩阵：■坐标系之间的变换问题：可以分两步进行：于是：假定xp=3,yp=4,x0=1,y0=1,Q=30º,则：■小结1.任何几何变换都可以由齐次坐标向量与相应的变换矩阵相乘表示，不同的变换归结为寻找其相应的变换矩阵。2.复合变换可以看成一系列基本几何变换的合成，将这一系列基本几何变换的变换矩阵相乘得到复合变换矩阵。■光栅变换直接对帧缓存中象素点进行操作的变换。