【精品】数值分析6 2.doc

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1、§6.3一阶常微分方程组的数值解一、一阶方程组和高阶方程组1.一阶方程组前血讨论的是单个方程=/（x,y）的数值解法，只要把y和/看成向最，那么前瓯所讨论的各种计算公式，都可以用于一阶方程组的情形.例如，对一阶线性微分方程组乂=/

2、（忑风，儿）"（“））=儿））‘；n‘i，）‘2））‘2（兀0）=）’20(6.3.1)如果用显式的Euler公式计算，则其计算公式为九+i=儿,+贴（兀，儿，）血“+1=）‘2“+妙2（无“，）£，）〜）若记：y=（儿，）‘2）7，f（兀，y）=（/

3、（兀,71，力）

4、丿2（X，X，）‘2））7'）'o=（儿0，）‘20卩则方程组（6.3.1）可简单写成（y/=f（^y）[y^o）=yo相应的显式e说纣计算公式为儿+1=yn+妙'（兀，儿）隐式民加计算公式为h儿+i二儿+-1/（^，儿）+/（兀+i，儿+i）1改进的血⑷计算公式为必=儿+财（乙，儿）V冗+1=儿+妙（£+1，几）儿+1=（）仃】+）爲）/2如果采用经典的R-K方法，其计算公式为h儿“+】=儿?+石伙】】+2*12+2k13+“14）h儿.”+1二『2”+匸仗21+2焉2+2焉3+^24）6其屮(

5、6.3.2)(6.3.3)(6.3.4)(6.3.5)(6.3.6)kn=fl（兀，九，畑），^21=AUn，儿，）6）,rzhh,h..&2=办(心+空，儿,+空你，)6+-^2i)/?/?hk22=f2(Xn+^，X“+空«］，)‘2“+-^21)hhhk13=fSXn+亍）仏+牙人2，丁2”+牙他2）hhhk23=fl（Xn+-，）'1“+3*12,『2“+~^22）hhh+刁，）仏+^人3，）‘2“+-^23）hhhk24=,2（£+-，）仏+㊁山3，）'2”+-^23）利用节点百上的函数

6、值儿,畑依次计算k、2,k22,kX3,k冲kgk24,再将它们代入（6.3.6）式求得节点心+

7、上的函数值儿曲，y2j/+1,如此逐点计算得到各节点处的函数值.若采用向量形式，则可简单的表示成h儿+】=儿+N+2褊+2他+忍）Ohhk产心,儿）'k2=f（xn+十儿+-*!）*hhk?二fg+〒儿+-^2）»k4=f（Xn+力，儿+族3）・这里，儿+］=（儿“+1，儿.“+1几儿二（儿“，）'2.“八kx=（kn.k2}y9爲二伙］2，爲2）卩，為二伙13,爲3几為二（&4，%）丁•利用Matl

8、ab可以方便的编制求解程序.类似的可以将结论推广到加个方程组的情形.2.高阶方稈组一般地，对于高阶方程组，我们总可以将降阶为一个i阶方程组的形式.如对三阶微分方程的初值问题：［）严=于（兀,”y；y"）lyUo）=儿‘y©o）=y^/Uo）=yo引入新变量，x=#,儿=y"，则可将三阶方程化为如下一阶方程组y=）‘iy（^o）=yo

9、出相应的经典R_K公式，这里略去.可见，一阶方稈组的数值解法是求解高阶方稈组的基础.Exp1Considerthesecond-orderinitial-valueproblemy*-2y,+2y=e2xsinx,forO

10、stwecanuse"dsolve"fromMatlabonhigher-orderequations・Notethatnthderivativey{n)(x)isspecifiedbyDny,theactualvaluesof,y2canbegetby[yl,y2]=dsolveCDyl=y2,Dy2二exp(2*x)*sin(x)-2*yl+2*y2',yl(0)=-0.4,y2(0)=-0.6','x')yl=-2/5*exp(2*x)*cos(x)+l/5*exp(2*x)*sin(x)v

11、2二4/5*exp(2*x)*sin(x)-3/5*exp(2*x)*cos(x)NowweuseTheRunge—Kuttamethodtoapproximatethesolutiontothisproblemusingh二0.1.Theinitialconditionsgivey}(0)=—0.4and(0)=—0.6.^1=/1(兀0，y10*20)=)‘2O=)‘2(())二—0・6,褊二f2(xQ,Xo,『20)=sinO-2ylo+2畑f4hhhhki2=fxUo+亍儿