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1、教案课程名称：初等数学研究任课教师：陈宏道教师所在单位：统计系课程简介《初等数学研究》是初等教育专业的专业课。它是在学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教育学、心理学之后而开设的。本课程从中学数学教学的需要出发，以基木问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓广，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高，并着重解决理论方面的问题。本课程的重点是培养中小学数学教师严谨、系统的初等数学理论和基础知识，训练中小学数学教师的技巧。《初等数学研究》包括《初等代数研究》和《初等几何研究》两部分，是初等教育专业开设的一门综合性的选修
2、课程。根据高等师范学校数学专业的培养目标，通过该课程的学习，使学牛了解初等数学的发展过程，初等数学的内容结构，思想方法等。理解初等数学理论知识，提高中学数学教学水平。学习本课程，要求学生更好地掌握并处理中学数学的教材，还必须使学生理解中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念怎样给岀精确的定义，未作证明的或证明不完整的数学命题怎样做出严格的证明，以及一些广泛应用的数学方法的理论依据。本课程摆脱了中学数学里己有的基础，以及高等数学里己作详尽讨论的知识，按照自己的逻辑系统来阐述初等数学的内容，并进行研究，将避免造成与中学数学或高等数学
3、不必要的重复。对于中学数学中己经解决的问题，将不在展开讨论，己有的知识与技能将作为工具来应用，在高等数学里已讨论过的有关理论，可以直接指导中学数学的，将直接应用，不再讨论。《初等数学研究》教案授课章节第1章第1节任课教师陈宏道教学方法与手段讲授法、探究式课时安排2学时使用教材和主要参考书石函早等编《初等数学研究教程》季素月等编《初等数学研究教程》李长明等编《初等数学研究》余元希等编著《初等代数研究》朱德祥编著《初等几何研究》教学目的与要求：引导学生掌握数系扩充的必要性及数系扩充的必须遵循的四个原则。教学难点与重点：重点：数系扩充
4、的方法难点：数系扩充必须遵循的原则教学内容：§1数系扩充概述本节研究数系发展的原则和方法。若从数学学科本身发展的需要来看，扩充的必要性常从两方面来说明：（1）某一运算的逆运算在原有数集中不能完全实施；（2）某一方程在原有数集屮无解.数的扩充方法一般有两种.一种是在己建立的数系A中添加一类新数的集合方，构成扩集B,例如，在非负有理数集Q+U{0}基础上添加负有理数集Q-,构成有理数集Q=Q+U{0}UQ..另一种方法是先用旧数集A中的数为材料构成一个新数集B,然后指出新数集B中某一真子集与A相等（严格讲，是B的某个真子集与A同构）
5、，复数系的建立就是采用这一种方法.从数集A扩充为数集B,不论采用哪一种方法，都必须遵循下列原则：（1）AB,即集A集B的真子集；（2）集A小已定义的元素之间的基本关系和运算，在集B小也有相应的定义，并且集B中的定义，对于B的子集A中的元素来说，与原来A中的定义一致；（3）在A屮无解的某类方程，在集B屮有解；（4）B是满足上述三个原则的A的所有扩充中的最小扩充。由于“某一运算的逆运算在原由数集中不能完全实施”，“某一方程在原有数集屮无解”，使得数集扩充有着必要性。数集的过冲有“添加新元素法”和“构造法”两种。从数集A扩充到数集B,
6、不论采用哪一种方法都必须遵循四个原则。复习思考题、作业题：自由选择一本数学史教材，理解数对于整个数学理论的重要性，写出一篇简短的论文。授课章节第1章第2节任课教师陈宏道教学方法与手段讲授法、探究式课时安排2学时使用教材和主要参考书石函早等编《初等数学研究教程》季素月等编《初等数学研究教程》李长明等编《初等数学研究》余元希等编著《初等代数研究》朱德祥编著《初等儿何研究》教学目的与要求：使学生理解和掌握自然数的序数理论，并能掌握和灵活地运用数学归纳法解题。教学难点与重点：重点：自然数的序数理论.难点：自然数的公理系统。教学内容：§2
7、自然数本节研究自然数的序数理论。定义1非空集合N*中的元素叫做自然数，如果N的元素之I'可有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b二H),并满足下列公理：(1)1WN*,1不是N中任何元素的后继元素；(2)对N*中任何元素a,有唯一的a’eN；(3)对N*中任何元a,如果aHl,贝！1a必后继于N中某一元素b；(4)(归纳公理)如果MgN*,且(D1EM；②若aWM,则/GM.那么，M二N*.这个系统称为皮亚诺公理系统.定理1自然数的加法满足结合律与交换律.即对任何a、b、ceN,有(1)a+(b+c)=(a+b)+c；(2)
8、a+b=b+a.证明(1)设a、b是给定的两个自然数，令集合M二{c
9、a+(b+c)=(a+b)+c}・由于(a+b)+1=(a+b)'二a+b‘=a+(b+l),所以1WM.若cGM,即(a+b)+c二a+(b+c),贝ija+(b+c*)=a+(b+c)'=
