10.自由曲线与曲面-1

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1、第10讲自由曲线与曲面－1华中科技大学CAD中心吴义忠cad.wyz@hust.edu.cn10.曲线曲面基础－110.1认识曲线与曲面10.2曲面造型的发展历程10.3曲线曲面的参数表达10.4Bezier曲线10.5B样条曲线10.6NURBS曲线一类是仅由初等解析曲面(例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等)组成，大多数机械零件属于这一类，可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息。第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外形零件。这一类形状单

2、纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，成为工程师们首要解决的问题。人们一直在寻求用数学方法唯一定义自由曲线和曲面的形状。工业产品的形状大致可分为两类：曲面造型(SurfaceModeling)是计算机辅助几何设计(ComputerAidedGeometricDesign,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲线曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经

3、过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(RationalB-splineSurface)为基础的参数化特征设计和隐式代数曲面(ImplicitAlgebraicSurface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。10.2曲线曲面发展历程1963年美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。1964年，美国麻省理工

4、学院的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）titi＋3ti＋1ti＋2ti＋4ti＋5ti＋6ti＋71975年，美国

5、锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。非均匀有理B样条（NURBS）成为当前大多数商用CAD软件系统的内部表达技术。SolidEdgeCATIAUGNXPro/EInventor10.3曲线曲面的参数表示非参数表示有显式和隐式之分显式表示:如曲面方程z=f(x，y)，式中每个z值对应唯一的x、y值，该表示计算非常方便，但无法描述多值或封闭面，

6、如球。隐式表示:如曲面f(x,y，z)=0，这种表示不便于由已知的参量x，y计算z值-1=0曲线参数表示空间曲线上一点p的每个坐标被表示成参数u的函数：x=x(u),y=y(u),z=z(u)。合起来，曲线被表示为参数u的矢函数：p(u)=[xyz]=[x(u)y(u)z(u)]最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];参数表示优点易于满足几何不变性的要求，可以对参数方程直接进行几何变换，节省计算量。曲线曲面表示的几何不变性是指它们不依赖于坐标系的选择或者说在旋转和平移变换

7、下不变的性质有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。例如：一条二维三次曲线的显式表示为：只有四个系数控制曲线的形状。而采用二维三次曲线的参数表达式为：则有8个系数可用来控制此曲线的形状。易于规定曲线、曲面的范围。参数表示优点（续）易于处理多值问题和斜率无穷大的情形。易于计算曲线、曲面上的点。而隐式方程需求解非线性或超越方程，另外，求导、等距的计算也被简化；参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。有关基本概念介绍位置

8、矢量p(t)切矢T=dp/dt主法矢:N=unit(dT/dc)曲率k:dT/dt曲率半径:1/k副法矢B,三个平面插值：给定一组有序的