最值求解论文

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毕业论文（设计）题目：中学数学中最值的求解方法学号：姓名：教学院：数学与计算机科学学院专业班级：数学与应用数学（2）班指导教师：完成时间：2013年05月01日 教务处制目录摘要错误！未定义书签。Abstract错误！未定义书签。引言31预备知识31」导数的相关知识31.2最值与极值的区别与联系71.3方差的定义72求函数最值的方法72」导数法72.2均值不等式法82.3构造方差法92.4函数的单调性法102.5复数法112.6判别式法122.7几何法132.8换元法15参考文献16致谢17 中学数学中最值的求解方法作者姓名：专业班级：09级数学与应用数学本科(2)班学号：指导教师：摘要：函数的值域与最值的求法既是高中数学教学中的一个重点也是一个难点，在毕业考试中所占比例较大。虽然现有高中教材中没有专门安排内容介绍,但在高中数学教学、练习、习题中，乃至高中毕业会考、高考题中，随处可遇到求函数值域与最值的问题。因此，我们有必耍对求函数的值域与最值的方法作出归纳与认识。本文就高中数学的要求，归纳与研究求值域与最值的一些方法。关键词：函数的值域；函数的最值；极值；斜率。 MethodofSolutiontotheMostValueinMiddleSchoolMathematicsAuthor^name:Professionalclass:Mathematicsandapplicationmathematicsundergraduateclass2grade2009Student^number:Supervisor:Abstract:Functionofdomainandseekingthemostvaluearenotonlyanimportantpoint,butalsoadifficultpointinhighschool.Itisinthelargerproportionofthegraduationexamination.Althoughnowthehighschooltextbookdoesnotarrangecontenttointroduceitespecially,itmayalsomeettheproblemaboutseekingfunctionofdomainandthemostvalueinthehighschoolmathematicsteaching,exercisesandevenhighschoolgraduationexaminationandthecollegeentranceexamination.Therefore,itisnecessaryforustoinduceandknowaboutseekingfunctionofdomainandthemostvalue.Thisarticleputsforwardsomemethodsaboutrequirementsofhighschoolmathematics;italsoconcludesandresearchessomemethodsofdomainandthemostvalue.Keyword:FunctionofDomain;FunctionoftheMostValue;Extremum;RakeRatio 引言最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在屮学数学教学屮也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。求函数的最值问题當和求函数的值域紧密相关，函数的值域与最值是两个不同的概念，一般来说，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之,一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。在对待中学数学中最值的求解问题上，国内外已有许多研究成果。例如：李海港、张传法研究了利用均值不等式求解函数最值的技巧；毛艳春讲述了三角函数最值的儿种解法；魏述强利用构造向量的方法求函数的最值；李继利用构造解儿模型求函数最值；刘娇英研究了运用复数的模求解函数最值的方法及技巧；肖晓红阐述了导数在研究初等函数上的应用；原祥玉还给出了常见无理函数最值题型及解法。数学中除了函数的最值问题，还有儿何中的最值问题。例如：李士芳在解析儿何的最值问题屮所探讨的一些方法；张军对立体儿何的最值问题做了详细的解析。以上都是在数学学科的理论上來探讨的数学中的最值问题的解法。但是对这些方法的总结概描，还没有比较完善的系统，有待我们去解决这个问题。通过对相关文献的学习使我对数学屮的最值问题的一些解法及技巧有了更进一层次的理解与运用。这些文献很好的探讨了数学中最值问题的解决方法，也见证了所有数学工作者的研究成果。求函数最值问题的方法，我们按八个方面分类来探究，它们分别是：判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、儿何法、构造方井法、复数法和导数法。1预备知识1.1导数的相关知识一导数的和关概念1•导数的概念3函数y二f(x),如呆自变量x在x()处冇增量山，那么函数y相应地冇增量Ay二f(x0+Ax)—f(x0),比值直■叫做函数y二f(x)在X。到Xq+AvZ间的平均变Ay化率，即0二门忑+山)一/(心)。如果当心TO时，乞有极限，我们就说函AxAxAx 数y=f(X)在点X。处口J导，并把这个极限叫做f(X)在点X。处的导数，记作厂(兀())即r(x0)=Hm乞二lim/(心+心)一・5)。AytO2心T()2注意：(1)函数f(x)在点X。处可导，是指山TO时，0有极限。如果生不存在ArAr极限，就说函数在点x。处不可导，或说无导数。(2)心是口变量x在x()处的改变量，山北0时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y二/(x)在点X。处的导数的步骤：①求函数的增量Ay=f(x0+Ax)—f(x0)；②求平均变化率乞二/(心+心)-/("))；AxAx③取极限，得导数r(x0)=lim^o山toAx2.导数的几何意义何函数y=f(x)在点x()处的导数的儿何意义是曲线y二f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线的斜率。也就是说，曲线y二f(x)在点p(x°,f(x0))处的切线的斜率是厂(x0)o相应地，切线方程为y—y()二厂(x())(x—x0)o3•导数的物理意义若物体运动的规律是S二s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度V二(t)。若物休运动的速度随时间的变化的规律是V二V(t),则该物体在时刻t的加速度a=(t)o二导数的运算1.基本函数的导数公式：①cz=o；（c为常数）②（兀叮二衣匕（3）（sinx）z=cosx; @（cosx）z=-sinx;⑤d；®（axy=axIna;©（lnx）=-;1.导数的运算法则法则1：两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：=.法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数，贝iJ（a）'=C'u+CV=（）+C/=C/・即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：（6）'=C/法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与/分子的积，再除以分母的平方：（兰］二住竺（vhO）。W丿v-2.复合函数的导数形如y=f［（p{x）］的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——>求导——>回代。法则:yix=/I匕-ux或者=厂(〃)•0⑴.三导数的应用1.函数的单调性与导数(1)设函数y=/(x)在某个区间(a,b)可导，如果f(x)>0,则/(兀)在此区间上为增函数；如果f(x)<0,则于⑴在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内恒有f(x)=0,则于⑴为常数。 1.极点与极值：定义：极值，数学上的定义为在一个区间内，在它这个点的左右侧分别大于或者小于这个点的值，那么这个点就是一个极点。曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；卅线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正。2.最值：定义：所谓最值，数学上的定义为在一个区间内，在某一点的值，都不大于或者不小于其他所有点的值，就成为它为一个最小(大)值点。在区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值。但在开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值,例如/(x)=xxg(-1,1)o(1)函数的最人值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得岀来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值,有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。 1・2最值与极值的区别与联系⑹不难看最值只要是有一个区间，就一定有，但是极值，假如单调递增，单调递减就没有。最值是整体的概念，极值是局部概念。最值一定是极值，极值不一定是最值。注：极点不一定是导数为0的点，例如y=xx=0,不是它的极点。1・3方差的定义方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即，?-X)2+(X2-X)2+...+(X„-X)21其屮，乂表示样本的平均数，n表示样本的数量，X?表示平方，X”表示个体，而於就表示方差。2求函数最值的方法2.1导数法设函数/⑴在［词上连续,在仏b)上可导，则/⑴在［°,切上的最大值和最小值为/(对在@力)内的各极值与/(d),f0)中比较的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。71+1000010000-x例2.1.1求数列［乔］的最大项。10001XT8XT8X+10000令厂(X)=0,则得X=10000,7(10000)=—乂•.•/(1)=—!—,lim/(x)=lim—————=0 将f(10000),f⑴及lirn/(x)加以比较，得.f⑴的最大值为/(10000)= 例2.1.2求函数/(x)=x3-3x2+6x-2,xg[-1,1]的最大值和最小值。解：厂(x)=3兀2_6x+6,令/'(X)=0,而厂(尤)=0无解.v/*(%)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3>0/.函数.f(兀)在xw[-1,1]上是增函数.故当x=-l时，九⑴=几-1)=-12,当x=lW,/_(%)=/(1)=22.2均值不等式法⑶均值不等式：设勺宀，…®是斤个正数，则有®+"£•••+©»诵忑玄，其屮等号成立的条件是al=a2=...=an。运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可。“正”是指各项均为正数，这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值;“等”是等号成立的条件。AQ例2.2.1设0v&v兀，贝ijsin-(1+cos-)的最大值是。22解：曲0<0<龙，有sin—>02乂•••sin—(1+cos—)=2sin—cos~—2222Q、2sin泄cos2?cos20V2222sin2-+cos2-+cos2-皿｛(__1)，=弓其中当2sin2—=cos2—时，上式等号成立，即0-2arccot41时成立，故22硝(1+COS&)的最大值为芈例2.2.2设a=lgz+lg[x(yz)7+1],Z?=lgx-1+lg(A)7+l),c=gy+lg[(^)_l+1],记a,b,c屮最大数为M,则M的最小值为解：出已知条件得a=lg(xy_1+z),b=lg(yz+x~*),c=lg[(xz)_l+y] 设xy+z,yz+«x,(兀z)+y中的最小数为A,则M=IgA由已知条件知，兀,于是A2>(xy~]+z)[(xz)_l+刃=[(yz)_l+>7j+(x+x_l)>2+2=4所以，A>2,口当兀=y=z=1时，A=2,故A的最小值为2,从而M的最小值为1§22.3构造方差法设n个数据XPX2,...,Xrt的平均数为X,则其方差为/=i[(x,-x)2+(x2-x)2+...+(x„-x)2]二丄(xi2+x22+...+x/)--(x1+x2+...+xJ2讥'n_显然?>0(当且仅当X=X2=・・.=Xn=£时取等号)。应用这一公式，可简捷、巧妙地解决一些试题的最值问题。这种方法适用的范围很广，可以用來求函数的最值，也可以用来求某一字母的最值以及求某一代数式的最值。例2.3.1求函数y=Vl+sinx+Vl-sinx的最大值。解：令，p=Vi+sinx,7=Vi-sinx,不妨设”+q=k,则由己知+q'=2,即(p+q)(pW-pq)=22=)/32£/mVfK、丿2-JK-2£0223k O即3k2>4k2一一，由此判定£>0,解得Ov/S8,即0d,亦即Ovp+q§2・k故p+q的最大值为2例2.3.2（加拿大第七届中学生数学竞赛试题）确定最大的实数z，使得实数兀*满足：无+y+z=5,xy+yz+zx=3解：由已知得，x^y=5-z,xy=3—z(x+y)=3—z(5—z)=z2—5z+3）-扣+"扣+）『_2小=*|(5-z)~-2(z2-5z+3)>0/.3^2-10^-13<01313解得-m仝•故z的最大值为A232.4函数的单调性法⑼当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求岀各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。r_i3例2.4.1求函数y=,—0又•・•f(x)=Jg_x(長一Jx_6)=f，兀故当xe[6,8],且兀增加时，Vx+Vx-6增大，而减小・J：是/'（X）是随着x的増大而减小，即/（x）在区间[6,8]±是减函数，所以fmM=f（8）=0,=f⑹=2侖2.5复数法⑵用复数的方法解函数的最值，就是运用复数的模以及绝对不等式的性质来解题。复数的模的不等式:忆|—|°卜忖±22|5忖|+匕2|当该复数是实数或纯虚数的时候取得等号例2.5.1求函数y=J/+l+J（12-x『+16的最小值。解：令石=/+,,?2=12—x+4i则y=+1+J（12-+16=|^|+|^2|>|^+z2|=|12+5/|=13其中，当且仅当z严加2亿>0）时,上述不等式取等号.199由两个复数相等的条件可求得，2=丄,%=-・••当兀=兰吋，函数儿曲=13例2.5.2已知x,y,z是不全为零的非负实数，求+y2+xy+J),+F+yz+Jz?+疋+ZXu=-x+y+z的最小值。解:设Z]：=X+寺+#yj,Z2=y+^+^-zi,z}=z+^+^-xi贝lj+),+巧+J)/+才+yz+J/+/+旷=kl+|^|+kl>|z,+z2+z3 =|(x+y+z)+¥(x+y+z"=a/3|x+y+z|=V3(x+y+z)兀+y+z・•・沦的，当且仅当乙,s◎的实部相等，即*—z>0时,等号成立.2.6判别式法若函数y=/(x)可化成一个系数含有y的关于兀的二次方程：a(y)x2+b(y)x+c(y)=0。在a(y)0时，由于为实数，则冇A=h2(y)-4a(y)c(y)>0,由此可以求出y所在的范围，确定函数的最值。例2.6.1实数x,y满足4x2-5^+4/=5,设s"+)/，则丄+丄的值为cc.maxmin44-l)2解：由题意知，xy二gs-1,故(兀)J?=(-乂F+),2=s.・.〒,)‘是方程尸—“+ds—1)2=0的两个实根.4393?/.A=52-4(-5-l)2=-—52+—5-4>05255心曰10,,10IIn1010角军得一5$5—，11卩几血=一^max=—13313,max3118一+——=-c.5max“min例2.6.2已知［f+q'=2、其中是实数，则p+q的最大值为解：设$=”+g，由+g3=2得，(P++q，-pq)=2(P+g)[(P+g)2-3pg]=2(p +q$-3pq(p+q)=21717/.pq=-(s2—)・••是方程x2-sx+-(s2—)=0的两个实根.3s3s7472小••.△=$2一―($2一―)>Q3s整理化简，得53<8,故$W2.即p+q的最大值为22.7几何法“71某些二元函数最值问题具有图形背景，这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定儿何意义的代数表达式，再利用儿何图形,对函数最值作岀直观的说明和解释。根据函数所表示的儿何意义，我们可以将函数分为以下儿种：例2.7.1求函数=的最小值。x+2解:令则f(X)=g^y)=y±L且/+),2=](沱0),于是问题转X2•・•直线AP与上半个单位圆x2+y2=l(y>0)相切・・.％=」2K_1|=]解得《=0(舍去)或K=i丿疋+(-1)23综上可得，直线AP的斜率的最值为：Kgin=K脑=|,Kmax=Kap=| 例2.7.2(1992全国高中数学联赛)函数/(x)=a/x4-3x2-6x+13-的最大值是o解：将函数式变形，得f（^）-J（X-3）2+（兀2—2）2_^（x-0）2+（x2-l）2可知函数y=/（x）的几何意义是：在抛物线y=x2±的点P（x,x2）分别到点A（3,2）和点3（0,1）的距离之差，现求其最大值.ihpa-pb/2>i,故所求纵截距v的极2222大值就是最大值.因此，所求函数V的最大值为丄+血 2.8换元法⑻用换元法求函数最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替，达到化繁难为简易，化陌生为熟悉，从而使原问题得解。换元法通常有三角代换和代数代换两种。例2.&1正数兀』满足-+-=1,其屮为不相等的正常数，求x+y的最兀y小值。冷刀人aubv八解：令一=，一=川*>0xw+vyu+v则卄）匸竺凹+冬凹=d+孙空+如,+b+2V^=W+丽）2uVuVv7当冃仅当手二牛即血=臥时上式取等号•故（兀+叽二W+丽）'例2.8.2（第九届“希望杯”全国数学邀请赛）实数适合条件1