运用“平方差公式”分解因式

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1、运用“平方差公式”分解因式一、教学目的和要求1.使学牛进一步了解因式分解的意义，乘法公式和因式分解的区别为联系。2.使学生掌握平方差公式的特点，并能熟练地运用公式将多项式进行凶式分解。3.进一步培养学生的逆向思维及转化的思想。二、教学重点和难点重点：掌握平方差公式的特点。难点：准确熟练地运用公式把多项式分解因式。三、教学过程(一)复习、引入提问：1.什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？(是一种互逆的运算。2.上节课讲了哪种因式分解的方法？在分解时，要注意什么问题？(提取公因式法,要注意把公因式提干净，提出负号各项要变号)。练习：把下列各式分解因式l.Sx3y-2xy3

2、=2xy(4x2-y2)=2xy(2x+y)(2x-y)2.a(a-h)-(b-ay=(a-b)(a一a+b)=b(a一b)3.3m(p-

3、两个数的和与这两个数的差的积。平方差公式特点是，等号左边项数二项，且符号相反，每项可以写成完全平方的形式,等号右边分解成两个凶式，每个因式的第i项相等，第二项互为相反数。下面我们举例说明，如何利川平方差公式分解囚式：x2-9y2a2-b2=(a+/?)(d_b)=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y)16m2-丄n2=(4m)2一丄(n)'=(4m+—n)(4m——ri)4222(d+b)(a-b)注意：要先将每项都变为平方的形式，才可使用公式分解，值得指出的是：平方差公式中的字母d、b不仅口J以表示数，而且可以表示代数式。例1把下列各式分解因式(1)0.04-/?2(2)25c

4、2-49a2b2解：(1)0.04"=(0.2)2-/?2=(().2+仍(().2-方)(2)25c2-49a2/?2=(5c)2-(7^)2=(5c+7")(5c—lab)例2把下列各式分解因式(1)(a+—(2a—b)~(2)4(/?7+/t)2-9(m一/t)2分析:把(a+b)与(2d-b)各看成一个数，则(d+b)2一(2a-b)2符合平方差公式,可以因式分解。4(m4-n)2改写成[2(加+m)]2,9(m—n)2改写成[3(m—n)]2，把4(zn+h)2—9(m—n)2看成是2(m+力与3(加一n)两数的平方差。解：(l)(a+b)2-(2a-b)2={a+b)+

5、(2d-b)][(a+b)-(2°-b)]=3q(-q+2b)=-3a(a一2b)或3a(2b-a)(2)4(zn+n)2-9(m-n)2=f2(m+n)]2-[3(m-n)]2=[2(/??+n)+3(m—n)][2(m+n)-3(m—n)]=(5m-z?)(5/i一m)注意：分解后的因式中的同类项要合并整理，合并后的多项式因式要使首项为止。例3把F列各式分解因式(1)3x5-27x3(2)16加4—625^4分析：(1)小题的两项不是平方差形式，但发现系数及字母x都有公凶式提出公因式后则成为平方差形式，可以进一步分解。解：(1)3x5-27x3=3xx2-9)=3x3(x+3)

6、(x-3)(2)16加4-625沪=(4加2)2一(25〃2)2=(4m2+25n2)(4m2-25/i2)=(4m2+25n2)(2加+5n)(2m-5n)注意：如果多项式的各项含有公因式，那么先提出这个公因式，再进一步分解因式，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。(一)巩固练习把下列各式分解因式l.x2-252.-m2-—n291213・-0」6+a2b24.100p2-4^65.9a2-(h-c)26.(3m+2/t)2-{5m-In)27.36(x一y)2一49(兀+y)28.-//+819.2m3n-Smn^10.(x+y)4一y4(一)小结1.利用平方差公

7、式分解I大I式，首先要掌握好公式的特点。即项数一一2项，符号一一相反，次数一一偶数。要熟记1〜20的平方数.2.有些多项式需要先提取公因式，然后再川公式法分解，注意一定要分解到使每个多项式因式都不能再分解为止。3.分解中易出现的错误是：(1)系数不分解为平方数,如=(9a+b)・(9d—b)(2)分解后的因式不整理，如：[3(/?7+n)]2-(m-n)2=(4m4-2n)(2m+4n),还可提取公因式得到4(2加+n)(m+2/1)。(二)作业把卜•列各