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1、运用几何变换的特征创造性解题江苏省泰州市九龙实验学校顾广林（225312）初小数学屮的几何变换一般是指平移、对称（翻折）和旋转.《数学课程标准》在课程口标中已明确指出“经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程”，我们知道，图形的变换不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置，故解题时可充分利用图形变换的特征，把图形位置进行改变，从而达到优化图形结构，进一步整合图形（题设）信息的口的，使较为复杂的问题得以创造性地解决.例1如图，ZABC中,AD是中线,DE、DF分别平分ZADB和ZADC,C图1交AB、AC于点E、F.求证：BE+
2、CF>EF.解法一（对称）如图1,由已知条件，可将/BDE、/CDF分别以DE、DF为轴翻折，变换成ZMDE、Z1MDF,易得ME二BE,MF=CF,这样三条线段转化到一个三角形小，问题迎刃而解.解法二（旋转）如图2,将ZFDC绕D点旋转180°变换成ZPDB,得PD二DF,连结PE,由DE、DF为角平分线，得ED丄PF,从血「EP二EF,这样三条线段就转化到/BPE屮，命题得证.解法三（平移）如图2,过B作BP〃CF交FD的延长线于P,易得/BPD竺/CFD,这样CF=BP,这样通过平移把三条线段转化到/BPE中，命题得证.点评：几何
3、变换是证题的有力工具.证明线段的不等关系主要是通过三角形三边Z间的关系，当欲证的线段过于分散，不好利用三角形三边Z间的关系时，可以根据题屮所涉及的图形的性质，设法对其（或其部分）施行某种几何变换，把题屮某些关系转移到某一三角形中，就可解决问题了.例2太阳光线与地面成60。的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是20馅cm.（1）请你求出皮球的半径；（2）如果用两只这样同样大小的皮球紧挨在一起，它们在地面上的投影总长为一只皮球在地面上的投影长的两倍吗？如果是，请证明；如果不运用几何变换的特征创造性解题江苏省泰州市九龙实验学校
4、顾广林（225312）初小数学屮的几何变换一般是指平移、对称（翻折）和旋转.《数学课程标准》在课程口标中已明确指出“经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程”，我们知道，图形的变换不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置，故解题时可充分利用图形变换的特征，把图形位置进行改变，从而达到优化图形结构，进一步整合图形（题设）信息的口的，使较为复杂的问题得以创造性地解决.例1如图，ZABC中,AD是中线,DE、DF分别平分ZADB和ZADC,C图1交AB、AC于点E、F.求证：BE+CF>EF.解法一（对称）如图1,由已知条件，可将/
5、BDE、/CDF分别以DE、DF为轴翻折，变换成ZMDE、Z1MDF,易得ME二BE,MF=CF,这样三条线段转化到一个三角形小，问题迎刃而解.解法二（旋转）如图2,将ZFDC绕D点旋转180°变换成ZPDB,得PD二DF,连结PE,由DE、DF为角平分线，得ED丄PF,从血「EP二EF,这样三条线段就转化到/BPE屮，命题得证.解法三（平移）如图2,过B作BP〃CF交FD的延长线于P,易得/BPD竺/CFD,这样CF=BP,这样通过平移把三条线段转化到/BPE中，命题得证.点评：几何变换是证题的有力工具.证明线段的不等关系主要是通过三
6、角形三边Z间的关系，当欲证的线段过于分散，不好利用三角形三边Z间的关系时，可以根据题屮所涉及的图形的性质，设法对其（或其部分）施行某种几何变换，把题屮某些关系转移到某一三角形中，就可解决问题了.例2太阳光线与地面成60。的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是20馅cm.（1）请你求出皮球的半径；（2）如果用两只这样同样大小的皮球紧挨在一起，它们在地面上的投影总长为一只皮球在地面上的投影长的两倍吗？如果是，请证明；如果不是，请你算出这时的投影总长度.分析：（1）过A作AC±BC于C,则AC为皮球的直径，在RtZABC中,A
7、C=ABsinB=20V3x—=3（）,BP皮球的半径为15cm.2（2）将002连同厶一起向左平移，使02与O］重合.由于0201=30,所以厶向左也平移了30cm.因此投影总长度为（20巧+30）cm.平移具有图形上每一点都在平移方向上移动了相同的距离的特征•利用这一特征就知道了厶与厶之间的水平距离，问题也就迎刃而解了.例3如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,E是CD的中点，过E作EF丄AB于点F,且AB=6,EF=5,求梯形ABCD的面积.C简解：平移AB至GH,使其过点E,交AD的延长线于点G,交BC于点H,则易知四边形ABHG
8、是平行川边形，再由题意可证明厶EGD^AEHC,进而得到S梯形mcd二S平行四边形amg=AB•EF=6x5=30.点评：将线段平移，利用平移后的线段与原来的线段平行且相等这一特征在新的位置上将分散的条件相
