《运用几何变换的特征创造性解题_（全文）》

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1、运用几何变换的特征创造性解题江苏省泰州市九龙实验学校顾广林（225312）初中数学中的儿何变换一般是指平移、对称（翻折）和旋转.《数学课程标准》在课程H标中已明确指出“经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程”，我们知道，图形的变换不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置，故解题时可充分利用图形变换的特征，把图形位置进行改变，从而达到优化图形结构，进一步整合图形（题设）信息的H的，使较为复杂的问题得以创造性地解决.例1如图，/ABC中，AD是中线，DE、DF分别平分ZADB和ZADC,交AB、AC于点E、F.求证：BE+CF>EF.a

2、解法一（对称）如图1,由已知条件，可将/BDE、/CDF分另IJ以DE、DF为轴翻折，变换成/MDE、/MDF,易得ME二BE,MF=CF,这样三条线段转化到一个三角形中，问题迎刃而解.解法二（旋转）如图2,将dFDC绕D点旋转180°变换成ZPDB,得PD二DF,连结PE,由DE、DF为角平分线，得ED丄PF,从而EP=EF,这样三条线段就转化到/BPE屮，命题得证.解法三（平移）如图2,过B作BP〃CF交FD的延长线于P,易得/BPD竺/CFD,这样CF=BP,这样通过平移把三条线段转化到ZBPE中，命题得证.点评：儿何变换是证题的有力T具

3、•证明线段的不等关系主要是通过三角形三边Z间的关系，当欲证的线段过于分散，不好利用三角形三边Z间的关系时，可以根据题中所涉及的图形的性质，设法对其（或其部分）施行某种几何变换，把题中某些关系转移到某一三角形中，就可解决问题了.例2太阳光线与地面成60。的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是20V3cm.（1）请你求出皮球的半径；（2）如果用两只这样同样犬小的皮球紧挨在一起，它们在地面上的投影总长为一只皮球在地面上的投影长的两倍吗？如果是，请证明；如果不是，请你算出这时的投影总长度.分If：(1)过A作AC丄BC于C,则AC为皮球

4、的直径，在Rt/ABC^,AC=AB-sinB=20V3x—=30,S

5、J皮球的半径为15cm.2(2)将OO2连同厶一起向左平移，使。2与Oi重合.由于Ch0

6、=30,所以12向左也平移了30cm.因此投影总长度为(20語+30)cm.点评：平移具有图形上每一点都在平移方向上移动了相同的距离的特征.利用这一特征就知道了厶与厶之间的水平距离，问题也就迎刃而解了.例3如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,E是CD的中点，过E作EF丄AB于点F,月.AB=6,EF=5,求梯形ABCD的面积.简解:平移AB至GH,使其过点E,交AD的延长线于点G,交B

7、C于点H,则易知四边形ABHG是平行四边形，再由题意可证明厶EGDAEHC,进而得到S梯形abcd=S平行四边形abhg=AB-EF=6x5=30.点评：将线段平移，利用平移后的线段与原来的线段平行冃相等这一特征在新的位置上将分散的条件相对集屮起来，从而探求解题思路•解决梯形问题的常规思路是通常将梯形问题转化成三角形或平行四边形问题进行处理.具体方法有：平移腰，平移底边或平移对角线.例4如图，ZAOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q、R(均不同于点O),则ZPQR的周长的最小值为.QPOD分析：作P点关于OA、OB的对称

8、点C、D.作射线OC、OD,连结CD,易得ZCOD=90°,0C=0D=0P=10,所以CD=7102+102=10V2.例5如图，在AABC屮，已ZACB=90°,CA二CB,D、E为AB±的两点,且ZDCE=45°.求证：AD2+BE2=DE2C简解：作AACD关于CD的轴对称图形，得如图所示的△FCD,连接FE.由于是对称变换，故有△FCD^AACD,//・・・ZFCD=ZACD,ZCFD=ZA,DF=DA,CF=CA.由题/]意知"CD+ZECF=45°,・・・ZACD+ZBCE=45°,AZECF=ZBCE.从而得厶FCE^ABCE

9、.ZEFC=ZB,FFE=BE.・・・ZDFE=ZDFC+ZEFC=ZA+ZB=90°,故出勾股定理得df2+ef2=de2,从而AD2+BE2=DE2.点评：由结论AD2+BE2=DE2的形式立即联想到以AD、BE、DE为边构成的三角形是直角三角形，则问题就能根据勾股泄理得解.但图中AD、DE、EB在同一直线上，故自然就会想到把这三边作适当变换，使Z构成一个直角三角形•这里用对称变换的方法既说清楚了为什么这样哑辅助线，又巧妙地构造AB出直角三角形，把分散的条件集中起来，使问题得解.例6如图分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆，若正方

10、形的边长为。，求阴影部分的面积.解：连结AC、BD,如右图，则绕AD中点将图中②逆时针旋转90°到图中③,将图中①绕AB中点顺时针方向旋转90°到图中