高考数学第六章不等式、推理与证明课时作业36基本不等式文

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1、课时作业36　基本不等式1．“a＞b＞0”是“ab＜”的(　A　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A．2．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　D　)A．≤B．＋≤1C．≥2D．a2＋b2≥8解析：4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋

2、b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．3．(2019·安庆一模)已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　B　)A．4B．2C．8D．16解析：由a＞0，b＞0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故选B．4．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　C　)A．B．C．2D．解析：由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值

3、为2.5．设x＞0，y＞0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是(　D　)A．40B．10C．4D．2解析：因为x＋4y＝40，且x＞0，y＞0，所以x＋4y≥2＝4.(当且仅当x＝4y时取“＝”)所以4≤40，所以xy≤100.所以lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.所以lgx＋lgy的最大值为2.6．(2019·海淀模拟)当0＜m＜时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　D　)A．[－2,0)∪(0,4]B．[－4,0)∪(0,2]C．[－4,2]D．[－2,4]解析：因为0＜m＜，所以

4、×2m×(1－2m)≤×2＝，当且仅当2m＝1－2m，即m＝时取等号，所以＋＝≥8，又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2,4]，故选D．7．已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为4.解析：∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴b(a－b)≤2＝，∴a2＋≥a2＋≥2＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝且b＝时取等号，∴a2＋的最小值为4.8．(2019·河南中原名校联考)已知直线ax－2by＝2(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值

5、为.解析：圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1)．由于直线ax－2by＝2(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1.∴＋＝(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，当且仅当a＝2b＝时，取等号，故＋的最小值为.9．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．解析：设泳池的长为x米，则宽为米

6、，总造价f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12000≥1600＋12000＝36000(元)，当且仅当x＝(x＞0)，即x＝15时等号成立，即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．10．(2019·湖南长郡中学月考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2017＝4034，则＋的最小值为4.解析：由等差数列的前n项和公式，得S2017＝＝4034，则a1＋a2017＝4.由等差数列的性质得a9＋a2009＝4，所以＋＝＝＝≥＝4，当且仅当a2009＝3a9时等号成立，故所求最小值为4.11

7、．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为5.解析：解法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.解法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，∵x＞0，y＞0，∴y＞，∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4≥＋2＝5，当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.12．经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品

8、的年销售量只能是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由