高考数学一轮复习第4章第3讲平面向量的数量积及应用举例知能训练轻松闯关文

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1、第3讲平面向量的数量积及应用举例1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1，1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于(　　)A．－2　　　　　　　　　　B．2C．0D．2或－2解析：选B.n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2016·江西省九校联考)在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则·＝(　　)A．－B.C.D．－解析：选B.·＝·(＋)＝·＋0＝

2、

3、·

4、

5、·cos∠ACD＝×3×cos60°＝.3．已知

6、a

7、＝1，a·b＝，

8、a－b

9、2＝1，则a与b的夹角等于(　　)A．30°B．45°C．60

10、°D．120°解析：选C.设a与b的夹角为θ，因为a·b＝

11、a

12、

13、b

14、·cosθ＝，且

15、a

16、＝1，所以

17、b

18、cosθ＝.①又

19、a－b

20、2＝

21、a

22、2＋

23、b

24、2－2a·b＝1，即1＋

25、b

26、2－1＝1，故

27、b

28、＝1.②由①②得cosθ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.故选C.4．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k＞0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，则k的值为(　　)A.B.C.D.解析：选A.设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，得×1×1×sinθ＝，得sinθ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而对e3＝e1＋k

29、e2两边同时平方得1＝＋k2，解得k＝或－(舍去)．5．已知，是非零向量，且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状为(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C.因为(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0.(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0，所以·＝·＝2·，即

30、

31、＝

32、

33、，而cosA＝＝，所以∠A＝60°，所以△ABC为等边三角形．6．(2016·沈阳一模)在△ABC中，已知

34、＋

35、＝

36、－

37、，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝(　　)A.B.C.D.解析：选B.因为

38、＋

39、＝

40、－

41、，所以2＋2＋2·＝2＋2－2·，即有·＝0，因

42、为E，F为边BC的三等分点，不妨设E为靠近C的三等分点，则·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝2＋2＋·＝×(1＋4)＋0＝，故选B.7．(2016·江西省模拟)已知平面向量a，b的夹角为，

43、a

44、＝2，

45、b

46、＝1，则

47、a＋b

48、＝________．解析：由题意得a·b＝－1，所以

49、a＋b

50、＝＝.答案：8．(2016·江西省九校联考)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC的面积为________．解析：由于＝(，)，＝(1，)，则有

51、

52、＝，

53、

54、＝，那么cos∠BAC＝＝，可得sin∠BAC＝＝，故△ABC的面积为S＝

55、

56、

57、

58、sin∠BAC＝1－.答案：1－9．(2016·山西省第一次四校联考)已知

59、圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且

60、

61、＝

62、

63、，则向量在向量方向上的投影为________．解析：因为＋＝2，所以O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有

64、

65、＝

66、

67、，所以∠B＝30°.由定义知，向量在向量方向上的投影为

68、

69、cosB＝2×＝3.答案：310．(2015·高考安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.解析：因为2＝4

70、a

71、2＝4，所以

72、a

73、＝1，故①正确；因为＝－＝(2a＋b)－2a＝b，又

74、△ABC为等边三角形，所以

75、

76、＝

77、b

78、＝2，故②错误；因为b＝－，所以a·b＝·(－)＝×2×2×cos60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；因为＝b，故④正确；因为(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0，所以(4a＋b)⊥，故⑤正确．答案：①④⑤11．已知

79、a

80、＝4，

81、b

82、＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①

83、a＋b

84、，②

85、4a－2b

86、；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)①因为

87、a＋b

88、2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以

89、a＋b

90、＝4.②因为

91、4a－2b

92、2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16

93、－16×(－16)＋4×64＝768.所以

94、4a－2b

95、＝16.(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.所以k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．1．(2015·高考陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)A．

96、a·b

97、≤

98、a

99、

100、b

101、　　　　B．

102、a－