万学全国分校2015届钻石卡模拟考试卷一（数学二）答案

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1、万学全国分校2015届钻石卡模拟考试卷一（数学二）答案万学教育·公共课教学与研究中心一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．．+(1)当x→0时，与arcsinx等价的无穷小量是()1+xx(A)1+4x−1(B)ln(C)1−e(D)1−cos2x1−x【答案】(B)．1【解析】当x→0+时，1+4x−1=(1+4x)2−1~2x，1+xx+xx+xln=ln(1+)~~x，1−x1−x1−xxx1−e=−(e−1)~−x，121−cos2x~(2x)=2x.21+x又因为

2、arcsinx~x，所以与arcsinx等价的无穷小量是ln，故选(B).1−x1⎧1ex+1arctan,x≠±1,⎪(2)设f(x)=⎨x2−1则()⎪⎩0,x=±1,(A)f(x)在x=1连续，在x=−1间断(B)f(x)在x=1间断，在x=−1连续(C)f(x)在x=1，x=−1都连续(D)f(x)在x=1，x=−1都间断【答案】(D)．π【解析】因为limf(x)=+∞⋅(−)=−∞，+x→(−1)2πlimf(x)=0⋅=0，−x→(−1)21πlimf(x)=e2⋅，+x→121πlimf(x)=e2⋅(−).−x→12所以f()x在x=1，x=−1都间断，故选

3、(D).(3)下列命题正确的是()(A)若函数f(x)在x=a处连续，则函数f(x)在x=a的邻域内连续.针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨1(B)若函数f(x)在x=a处可导，则函数f(x)在x=a的邻域内可导.(C)若函数f(x)处处可导，则其导函数处处连续.(D)若函数f(x)在x=a处连续，在其去心邻域内可导，且limf′(x)存在，则f(x)在x=a处可导.x→a【答案】(D)．⎧0,xQ∈,【解析】令fx()=⎨显然f(x)除在x=0处连续外，其他点均间断，该函数除在x=0处可3⎩x,xRQ∈,导外，其他点均不可导(因为该函数除x=0外，其他点间断，故也不

4、可导)，(A)、(B)不正确.⎧21⎧11⎪xxsin,≠0,⎪2sinxx−cos,≠0,令fx()=⎨x显然f(x)处处可导且fx′()=⎨xx因为limf′(x)不x→0⎪⎩0,0x=,⎪⎩0,x=0,存在，所以f′(x)在x=0处不连续，故(C)不正确.由微分中值定理得f(x)−f(a)=f′(ξ)(x−a)，其中ξ介于a与x之间，因为limf′(x)存在，所以x→af(x)−f(a)lim=limf′(ξ)=limf′(ξ)存在，故f(x)在x=a处可导，故选(D).x→ax−ax→aξ→a(4)以下广义积分收敛的是()+∞lnx+∞1+∞1+∞1(A)dx(B)d

5、x(C)dx(D)dx∫ex∫exlnx∫ex(lnx)2∫exlnx【答案】(C)．+∞lnx+∞12+∞【解析】对于选项(A)，∫edx=∫elnxdlnx=lnxe=+∞.x2+∞1+∞dlnx+∞对于选项(B)，∫edx=∫e=ln(lnx)e=+∞.xlnxlnx+∞1+∞11+∞对于选项(C)，dx=dlnx=−=1.∫e2∫e2ex(lnx)lnxlnx+∞1+∞1+∞对于选项(D)，∫edx=∫edlnx=2lnxe=+∞.xlnxlnx故选(C).222∂u(5)设函数u=f(xy,xy)的所有二阶偏导数都连续，则=()∂x∂y3222(A)2yf′+2xy

6、f′′+xyf′′(B)xf′′+yf′′+yf′′1111211221232233223(C)2yf′+2xyf′′+5xyf′′+2xf′+2xyf′′(D)2yf′+2xyf′′+5xyf′′+2xyf′′111122221111222针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨2【答案】(C)．∂u2【解析】=yf′+2xyf′，12∂x2∂u222=2yf′+y(2xyf′′+xf′′)+2xf′+2xy(2xyf′′+xf′′)1111222122∂x∂y3223=2yf′+2xyf′′+5xyf′′+2xf′+2xyf′′.11112222故选(C).2222(6)

7、设I=(x+y+3xy)dxdy，I=(2xy+5x)dxdy，I=(x+y+5xy)dxdy，则()1∫∫2∫∫3∫∫x2+y2≤1x+y≤1x+y≤1(A)I