万学全国分校2015届钻石卡模拟考试卷一（数学一）答案

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1、万学全国分校2015届钻石卡模拟考试卷一（数学一）答案万学教育·公共课教学与研究中心一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．．cos2x−cos2x(1)若lim=a≠0，则()x→0k1+x−1(A)k=2,a=−2(B)k=−2,a=−2(C)k=2,a=2(D)k=−2,a=2【答案】(A)．1kk21k【解析】当x→0时，1+x−1=(1+x)−1~x.2当x→0时，cos2x−cos2x=cos2x(cos2x−

2、1)1212=cos2x[(1+cos2x−1)−1]~(cos2x−1)~−x.22cos2x−cos2x−x由lim=lim=a≠0得k=2,a=−2，故选(A).x→01+xk−1x→01kx2GGGGG(2)已知向量场A=(2z−3y)i+(3x−z)j+(y−2x)k，则旋度rotA=()(A)(1,2,3)(B)(2,4,6)(C)(1,1,1)(D)(2,2,2)【答案】(B)．GGGijkG∂∂∂【解析】rotA==(2,4,6).故选(B).∂x∂y∂z2z−3y3x−zy−2x∞∞2n2(3)设∑an收

3、敛，则级数∑(−1)antan()32n=1n=1n(A)必绝对收敛(B)必条件收敛(C)必发散(D)敛散性不定【答案】(A)．4n2122222−【解析】由于(−1)atan≤(a+tan)，而当n→∞时，tan~4n3.nn3n223n23n2∞4∞∞∞−222n2由∑4n3收敛知∑tan收敛，且∑a收敛，则∑(−1)atan绝对收敛，故选(A).nn3232n=1n=1nn=1n=1n针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨1x(4)曲线积分∫(f(x)−e)sinydx−f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)

4、有一阶连续导数，且f(0)=0，L则f(x)为()−xxx−xx−xx−xe−ee−ee+ee−e(A)(B)(C)−1(D)1−2222【答案】(B)．【解析】本题考查曲线积分与路径无关的等价条件.x∂P∂Q令P=(f(x)−e)siny，Q=−f(x)cosy，由已知得，=，即∂y∂xx(f(x)−e)cosy=−f′(x)cosy，x1x−x1故f′(x)+f(x)=e，其通解为f(x)=e+Ce，将f(0)=0代入得C=−，所以22x−xe−ef(x)=.2故选(B).(5)已知向量组(I)α,,,αα"的部分组为

5、(II)αα,,,"α(ts≤),则()12sii12it(A)若向量组(I)线性相关,则向量组(II)必线性相关(B)若向量组(I)线性无关,则向量组(II)必线性无关(C)若向量组(II)线性相关,则向量组(I)可能线性无关(D)若向量组(II)线性无关,则向量组(I)必线性无关【答案】(B)．【解析】本题考查向量线性相关性的相关定理.根据定理：整体无关，部分必无关；部分相关，整体必相关；(B)为正确选项.除了“整体”和“部分”的关系，我们对：“多”和“少”,“维数”“个数”的增减对线性相关性的影响梳理如下：多的可以由

6、少的表示，多的必相关；其逆否命题为：几个线性无关的向量，必然不能由比它个数少的向量组线性表示；增加向量的维数，不改变向量组的线性无关性；减少向量的维数，不改变向量组的线性相关性；增加向量的个数，不改变向量组的线性相关性；减少向量的个数，不改变向量组的线性无关性.(6)设A,B均为n阶实对称矩阵,则矩阵A,B合同的充分必要条件是()(A)矩阵A,B有相同的秩(B)矩阵A,B有相同的特征值(C)矩阵A,B有相同的正负惯性指数针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨2T(D)存在矩阵P,使得PAP=B【答案】(C)．【解析】本题

7、考查合同的相关性质.根据“两个实对称矩阵是合同的，等价于这两个矩阵具有相同的正负惯性指数”得到选项(C)是正确的.我们对等价、相似、合同作个对比：相似⇒等价；合同⇒等价；一般条件下，相似与合同没有任何关系，在两个矩阵均为实对称的条件下，相似⇒合同；(1)两个同型矩阵等价的充要条件是这两个矩阵的秩相等；−1(2)两个同阶矩阵A,B相似的充要条件是存在一个可逆矩阵P使得PAP=B；特征值以及特征多项式相同仅是相似的必要条件；(3)两个实对称矩阵合同的充要条件是具有相同的正负惯性指数；注：特征值以及特征多项式相同和两个矩阵等价没

8、有任何关系,例如⎛⎞100⎛⎞100⎜⎟⎜⎟000与001⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠000⎜⎟⎝⎠000特征值相同但秩不同，不等价，更不可能会相似；如果这两个矩阵是实对称矩阵，那么特征值相同是等价的“充分条件”也是相似的“充分必要条件”.422(7)设随机变量XXXX1234,,,独立，且都服从正态分布N(1,1