《基本不等式》课件

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1、基本不等式永康明珠学校金长江新课导入如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？基本不等式的几何背景.实际上，我们可以尝试用四个全等的直角三角形拼成上面那个“风车”图案.赵爽弦图从图形的面积的角度你能找不一些不等关系吗？3.4基本不等式教学目标知识与能力1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.进一步掌握基本不等式会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题.1

2、.通过实例探究抽象基本不等式；过程与方法2.通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式并会用此定理求某些函数的最大、最小值;3.会利用基本不等式证明一些比较简单的证明题，从而从基本不等式中衍生新的结论.1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣;情感态度与价值观2.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德;3.积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系.重点难点教学重难点1.应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程;2.掌握基本不等式，会用此不等式证明不等式，会

3、用此不等式求某些函数的最值.1.基本不等式等号成立条件;2.利用此不等式求函数的最大、最小值.探究我们继续导入中的问题，观察下图中的不等关系.由图中可得：为什么？ADBCEFGHab在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a和b，那么正方形的边长为这样，4个直角三角形的由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以我们就得到了一个不等式：面积的和是2ab，正方形的面积为思考：1、不等式在什么条件下都成立吗？形的角度a>0,b>0数的角度从而，a和b是实数时，不等式都成立.2、公式中等号成立的条件是什么？形的角度数的角度a=b当直角三角形变为等腰直角三角

4、形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有不等式等号成立.3、公式两边具有何种运算结构？数的角度:平方和不小于积的2倍小结：由上面的讨论，我们得到一个结论:(当且仅当a=b时，等号成立)引申1、认识基本不等式特别的，如果a>0,b>0,我们用去代替a和b，可得通常我们把上式写成（当且仅当a=b时取等号）从而我们得到了这个基本不等式.2、从不等式的性质推导基本不等式的性质.分析：我们从几何图形中的关系获得了基本不等式，能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？要证（2），只要证a+b-≥0（3）要证（1）只要证a+b≥（2）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的

5、等号成立.3、这样，我们又一次的得到了基本不等式（4）要证（3），只要证（-）≥02分析法即为，之前证明基本不等式时用的以结论来推过程的方法.小结：1、经过以上的引申，我们得到了一个基本不等式2、我们应熟练掌握分析法证明不等式.是什么？思考：我们之前用分析法证明了基本不等式，它有什么几何意义吗？在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.根据圆的性质，我们知道：半径不小于半弦从而得到：概念1、如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2

6、、在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.实际问题1、用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？2、一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？分析：对于（1），矩形菜园的面积是确定的.因此我们要解决的问题是：当面积确定时，长和宽取什么值时篱笆的周长最短?对于（2），矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定.我们要解决的问题是：当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的面积越大？解：（1）设

7、矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.由可得即x+y≥20,当且仅当x=y=10时等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）解法一：设矩形菜园的宽为xm，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜其面积S＝x（36－2x）＝×2x（36－2x）当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9m时菜园面积最大为81m2.解法二：设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则2(x+y)=