一题多解在数学解题中的运用

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1、一题多解在数学解题中的运用■以2010年高考数学（17）题为例李艳甘肃省兰州市第六十五中学730070摘要：一题多解是开发稠力、培养能力的一•种行之有效的方法，它对沟通不同知识间的联系,开拓思路，培养发散思维能力，激发学生的学习兴趣都十分有益.在教学中，恰当而乂适量地采用一题多解的方法，进行思路分析，探讨解题规律和对习题的多角度“追踪”，能“以少胜多”地巩固基础知识，提高分析问题和解决问题的能力，掌握基本的解题方法和技巧.本文以2010年高考数学17题为例，分析一题多解在数学解题中的运用，旨在说明

2、在平时的数学教学中应培养学生一题多解的习惯.关键词：一题多解；三角函数；数学教学一题多解是激发学生兴趣、开拓思路、培养思维品质和应变能力的一种I•分冇效的方法.一题多解的构思方法是：从数学基本知识方面构思；从数学基本方法方面构思；从初等数学屮的代数、立体儿何、解析儿何、三角函数等的横向综合沟通方面构思，等等•如2010年普通髙等学校招生全国统一考试的文、理科数学（17）题：53MBC'I',D为边BC上的一点，BD=33,sinB=—,cosZADC=—,求AD.135对这道高考题，可以采用如下多

3、种解法求解：分析1根据图一,先求出sinABAD,再利用正弦定理求AD.124解法1由题意可得cosB=—,sinZADC=一・135从而sinABAD=sin(ZADC-B)=sinZADCcosB一cosZADCsinB41235=—XX——51351333~65'.33x2山止弦定理得少-二一——,所以AD=BDsmB=—^1=25.sinBsinZBADsinZBAD3365分析2联立正弦定理与余弦定理构造一个关于AD的方程，并从中解illAD・1244解法2由题意可得cosB=—,sin

4、ZADC=-•从而sinZADB=sinZADC=-.13554»An57rh正弦定理得=——,所以AB=—AD.sinZADBsinB254Inr）£_Ar）£io2AB•BD乂由余弦定理知cosB==—,将AB=—AD代入此式,可得:27027AZ)2-1029600AD+8848125=0求解该一元二次方程，得AD=25.分析3过D作AB的垂线，垂足为F（见图二），先求出sinZBAD，再由直角三角形ADF解出AD.解法3过D作的垂线，垂足为F,则1313DF=BDsinB=33x—=—.又

5、sinZBAD=sin(Z4DC-B)=sinZADCcosB一cosZADCsinB65'sinZBAD,所以AD=———=25.分析4过D作AB的垂线，垂足为F（见图二），利川诱导公式求出cosZADF,再根据直角三角形ADF求出AD.解法4过D作的垂线，垂足为F,则1313DF=BDsinB=33x—=—.rtnfl.cosZBDF=—=-^-=—BD3313——-COS=—213sinZADC=-,cosZADF=cos(tt—ZBDF一ZADC)=—cos(ZBDF+ZADC)-cosZ

6、BDFcosZADC+sinZBDFsinZADC—,从而AD==25.65cos乙ADF分析5过人作BC的垂线AE,垂足为E（见图三），在直角三角形ADE中设AD=xf得出AE,BE的长度的表示式，然厉在直角三角形ABE屮利川勾股定理.解法5过A作BC的垂线AE,垂足为E.设AD=x,则由sinZADC=-可得4再由sinB=——二，5一,得a:=25.ABf43:13兀）2+（33+亍）23分析6过A作〃C的垂线AE（见图三），在RtMDE中利用cosZADC=-设三边的氏分5A17别为：AE

7、=4x,DE=3兀,AD=5x；同时在RtMB£中利用tanB=——求解x.BE解法6过A作BC的垂线AE,垂足为E.itlcosZADC=—,町设AE-4x,DE-3x,AD-5x..n5n5tsinB=——，z.tanS=——.13124x5即=_,解得x=5・从而AD=5兀=5x5=25・33+3兀12分析7过D作AB的垂线DFMA作BC的垂线AE（见图四），这样便可以构造两个相似三角形，然后借助“相似三角形的对应边成比例”这一性质求解AD.解法7过D作的垂线DF,垂足为F;过4作〃C的垂线

8、AE,垂足为E.AFRF则ABDF与ABAE和似，这样一=—・DFBF又cosZADC=-,可设AE=4x,DE=3x,AD=5x.5512由sinB=一得：Z）F=33x—,BF=33x——.1313134r33+3乂因此亠丁=土詩，解得x=5.33x—33x—1313从而AD=25.（图一）（图二）从上而的多种解法我们注意到解法6和解法7比较简单,数学问题形式多样，由于思维定势产生的负效应，学生解题时往往墨导成规，而思维灵活性的培养在解题教学屮主要表现为一题多解•因此，在教学及