基于间接法的最优小推力逃逸轨道设计

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1、2013年4月第2期中国空间科学技术ChineseSpaceScienceandTechnology基于间接法的最优小推力逃逸轨道设计黄镐韩潮(北京航空航天大学宇航学院，北京100191)摘要目前，小推力逃逸轨道优化的大部分研究限于平面内逃逸或对发动机模型做无约束简化处理。通过在性能指标中引入一个待定参数，采用间接法将系统两点边值问题的待定参数约束在多维单位球里；同时结合同伦思想和曲线拟合技术，由短时间无约束平面内燃料最优逃逸问题开始，逐步求解长时间有约束平面外燃料最优逃逸问题。数值仿真结果表明该方法收敛

2、性好，能求解复杂逃逸问题，是一种高效的逃逸轨道设计方法。关键词小推力逃逸轨道燃料最优星际探测DOI：10．3780／j．issn．1000—758X．2013．02．0051引言在小推力星际探测任务中，逃逸捕获阶段因其多圈螺旋轨道的特性而在整个任务过程中最为复杂。目前，基于小推力的轨道优化设计方法可归结为直接法和间接法。直接法采用离散配点法将最优控制问题转化成高维非线性参数规划问题，鲁棒性较好，对于单圈或圈数较少的轨道转移问题比较适用；但对于多圈(大于50圈)螺旋逃逸轨道设计，采用直接法将形成庞大的非线性

3、参数规划问题，导致求解难度非常大[1]。间接法利用庞特里亚金极值原理将最优控制问题转化成两点边值问题，未知协状态量维数较少，而且求解的精度高，但两点边值问题对协状态量初值非常敏感，对于多圈长时间逃逸问题，该问题尤甚，要得到收敛解需要提供非常好的初值猜测，然而协状态变量没有实际物理意义，初值很难猜测，甚至其量级都无法界定，由此给间接法的应用带来了不小困难。目前，国内外已有一些利用间接法进行逃逸螺旋轨迹优化的研究[2。5]，也有一些研究在求解整个星际探测任务中考虑了逃逸阶段口_6]。这些研究中，普遍采用了一种

4、协状态控制转换技术(ACT)[3]来降低两点边值问题初值的敏感性，且大部分都只研究了控制无约束的平面内逃逸问题，或者采用逃逸时间[2]或逃逸能量[51作为优化性能指标。本文采用间接法口3求解小推力燃料最优逃逸问题，通过引入一个待定参数，求解了复杂的长时间控制有约束的三维燃料最优逃逸问题。2地心球惯性坐标系下轨道动力学方程在地心惯性系中的位置、速度矢量用，和p表示；P。、P，、P：分别表示地心直角惯性系中z，Y，z方向上的单位矢量；B、幻、P。分别为地心球惯坐标系各正交轴单位矢量，如图1所示。地心球惯性坐标

5、系下航天器轨道动力学系统状态量为x—r，0，壬，珥，VO，7d≠]T，动力学方程为收稿日期：2012—05—28。收修改稿日期：2012—102526中国空间科学技术2013年4月X==口，vo／(rcos庐)心k{r(勘；+口；)r一岸／r2+all，VO(砜tanj5一训，)／r+all,日一f(x)+au(1)式中r和n分别为位置和推力加速度幅值；口为地球引力常数；H为推力方向矢量，可由角a和角卢来描述。H=

6、i]=罔X图1直角坐标系与球坐标系之间关系Fig．1Relationbetweencart

7、esianandsphericalsystem对于变比冲小推力发动机模型，航天器加速度模型可表示为．F2ePn—m硎一再丽=了磊H7竹n，n』⋯。。』。．g。式中F和a分别表示航天器推力和推力加速度矢量；e为发动机效率；P为固定的发动机功率；g。为标称重力加速度；m。和J。。。分别表示航天器初始质量和发动机最大比冲；m和J。。则为对应的归一化处理后的系数，m∈E(m。一m川)／m。，1]，，。，∈E1sprain／i。。，，1]；m㈨为航天器燃料总质量；J。Ⅲ。为变比冲发动机能提供的最小比冲。质量导数方程

8、为m一一磊jr≤2羔jr疆22(2)mo』spmax』spg“3燃料最优控制问题对于变比冲发动机燃料最优逃逸问题，可描述为在初始轨道给定的情况下，在固定时间通过控制发动机比冲J。。的大小以及推力矢量方向，使得航天器轨道能量在达到逃逸能量的同时，所消耗的燃料最少。对应的性能指标和初始条件的数学描述为mm．，一扎j。：磊了彘222出，工(to)一‰；m(to)一m。式中to和tf分别为逃逸始末时刻；A。为引人性能指标函数中大于零的待定参数，若A。一1即为原问题；若Ao≠1，只要A。>0，就不会改变系统燃料最优

9、的本质。下标0、f分别表示初始时刻和终点时刻对应的参量。由庞特里亚金极小值原理凹1，推导系统Hamilton函数及最优控制为2ePf，．．、l^T2eP、2ePH=Ao荔j磊=了蒋+AT厂(x)+Aj磊j面：=瓦H—Am磊jr；2：蕊r22式中A—l-a，，A一，A≠，A。，，A埘，A。≠]T为与状态量x相对应的协状态量向量；A。一队¨A硼，A。。]T为与速度v对应的协状态量向量；A。为与m对应的协状态量。由3H／3u一0，推