第四节力学量用算符表示

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1、第四章：力学量用算符表示[1]设是的可微函数，证明下述各式：[一维算符]（1）（证明）根据题给的对易式及（2）（证明）同前一论题~80~物83-309蒋（3）[证明]同前一题论据：（4）[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式（5）（证明）论据同（4）：（6）（证明）论据同（4）：~81~(2)证明以下诸式成立：(1)(证明)根据坐标分角动量对易式为了求证该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x分量。以及看到由于轮换对称性，得到特征的公式。(2)（证明）证法与（1）类似，但需先证分量与分量的对易律同理可证明其他轮换式，由此得普通式取待证的公式等号左方

2、的x分量，并用前一式加以变形：根据轮换对称性，证明待证式成立。(3)注意与x没有共同坐标。(4)注意没有共同坐标，因此可以对易即，故(3)为粒子角动量。F为另一力学量，证明：其中表示空间坐标的梯度，表示动量空间的梯度。[证明]按照题意又F可看作坐标，动量的函数，它一般可以表示成为使证明题给论据清楚，可以先导出两种交换关系，作为后文的准备，设为任意波函数在前式的最后一项中，当I=x时，可利用莱勃尼兹公式：当因此：现在利用前二式来证明题给一式的x分量的关系成立，该式左方：86-87利用（1）和（2）得同理可得综合3式得[4]设算符A，B与它们的对易式[A

3、，B]都对易。证明(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：按题目假设重复运算n-1次以后，得（乙法）数学归纳法，待证一式当n=1时，是明显成立的，假设当m=k时该式成立，而k1，则应有现在计算有:利用前述的假设但又按题目假设用于前一式得待证一式。关于第二个公式也可按相同的步骤证明，不另列述。但若第一式证实，则亦可从第一式推第二式，注意88-89将第一式对易式中两算符对易得再将文字A，B对易得（5）证明（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，

4、B]对易一点不能使用，即从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得取A=q，B=p，注意[q，p]=hi代入前一式后，有(6)证明是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式：前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。（7）证(A等是实数)是厄密算符（证明）此算符F()不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算：满足厄密算符的定义。（8）证明（实数）是厄密算符。（证明）方法同前题，假定已经证明,都是厄密算符，即：又按题意

5、得证算符是一维的。~90~物83-309蒋这证明不是厄密算符，但满足同理可证明将前二式相加除2，得因此是厄密算符。因此也是。又假定用作为厄密算符的定义，并设则本题可用较简方式来证明如下：因为所以有同理有~91~相加除2，得：这证明右方一式是厄密算符。（9）证明，若当大时并不趋于0，则不一定是厄密算符。（证明）设,是任选的两个函数，适用分步法计算下列积分继续将后一积分作分步运算，共作n次，其结果将是：由此计算可知若大括号里总和为0，则算符符合厄密算符定义，但按题意时，不趋于0，因此我们无法证明大括号里总和为0[10]证明其中A(p,q),B(p,q)是

6、正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形i=1,2,3......i自由度（证明）本题意思是要证明等号两边式子等效，但左方是算符式，可以使用自变量间的对易关系进行变形，为了证明方便，可设定的函数形式如下：式中是指两组已知的复数，若不能用的形式表示，则下面的证法无效，按此假设，可进行下述的变形运算：I≡[A,B]=最后一式中出现座标的幂、动量幂之间的对易式，这类对易式的简化并未有过，需做专门的计算；兹以的简化为例：试将此对易式的第一项加以连续变形，并且运用已证过的公式：（4）（5）利用（4）式，

7、令则有以下诸式：或：（6）同理有（7）依次类推……………………………………将（6）式代入（5）有：（8）将最后一式第一项分解，重复应用（6）：运用式（7）于前式中的:物83-309蒋（9）与（8）式比较，增加的高阶次。（10）按同样方法连续变形次，得到下式；式中假设。或改写作：（11）将此式代到（3）式中，得下式：~95~将这对易式遍乘以，则右方各项中，第一项将与无关，第二项以后含以上的幂，取极限时将留下第一项（12）其次再考察题给公式等号右方的泊松括号，（用正则座标和正则动量表示的式子），我们论证的情形中，自由度，因而按经典力学定义：==（13）两

8、种计算的结果相同，因而题给的结果相同，因而题给的公式得到证实。[11]设F(x，p)是xk，pk的整函数，证