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1、CH3力学量用算符表示Purposesandrequirements1.Tomaster:厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数。2.Tounderstand:算符的运算规则。3.Toknow:连续谱本征函数的“归一化”。Homework见QQ群作业3.1算符的运算规则量子力学的力学量可以用算符来表示，即ˆF(p,r)~F(-iÑ,r)例如哈密尔顿能量算符：ˆ222pH=+V(r)=-Ñ+V(r)ˆ2m2mˆ=¶能量算符Hi¶t1算符的定义表示运算的符号叫算符，又叫作用量。d*如，ò，,()等dx线性算符：如果算符Â满足下列条件ˆ+c2y2)=cˆ+cˆA(c1y11Ay12Ay2
2、（c1、c2为任意复常数）则算符Â是线性算符linearoperator描述可观测物理量的算符都是线性算符。ˆò如p=-iÑ是线性的，是线性的但容易证明不是线性算符Question()*是线性算符吗？Answer不是。因为(c1y1+c2y2)*=c1*y1*+c2*y2*（通常）¹c1y1*+c2y2*2、算符的运算性质（1）算符相等ˆˆˆˆAy=By对于任意的波函数都成立，则A=B（特例：若Iy=y，则I称为单位算符）（2）算符相加(Aˆ+Bˆ)y=ˆy+ABˆy交换律和结合律Aˆ+Bˆ=Bˆ+AˆAˆ+(Bˆ+Cˆ)=(Aˆ+Bˆ)+Cˆ
3、(3)算符相乘ˆˆˆˆA(By)=(AB)y运算依次从右向左进行。运算xpˆxy=-ixddxyˆˆ¹ˆˆ注意：算符的乘积一般不对易，即ABBAˆˆQuestionxpxy=pxxy?ˆddAnswerpxxy=-idx(xy)=-i(y+xy)dxxpˆxy¹pˆxxy（4）算符对易commutationˆˆ如果算符A、B满足关系ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[A,B]=AB-BA=0即AB=BAˆˆ则称算符A、B对易（commutable）。提示：讨论两个算符是否对易，一般是将它们作用在任意波函数上，看它们是否相等。若相等，则对易。Discussion位置算符和动量算符的对易关系对任意波
4、函数yˆdyxpxy=-ixdxdpxxy=-iy-ixyˆdx令ˆˆxy=ˆ]yxpxy-px[x,px显然ˆ[x,px]y=iy即[x,ˆ]=ipx这就是位置算符x和动量算符pˆx的对易关系类似可证基本对易关系[xa,pb]=idaba,b=x,y,z或1,2,3对易关系的运算性质：ˆˆˆˆ1)[A,B]=-[B,A]ˆˆˆˆˆˆˆ2)[A,B+C]=[A,B]+[A,C]3)[A,BC]=B[A,C]+[A,B]C(Proveit!)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[AB,C]=A[B,C]+[A,C]Bˆˆˆˆˆˆˆˆˆ4)[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[
5、A,B]]=0Jacobi恒等式：（5）角动量算符的对易关系角动量ˆˆL=r´p=-ir´Ñ在直角坐标系中的分量表达式ˆ¶¶Lx=ˆˆ=-i(y-z)ypz-zpy¶z¶yˆˆ-ˆ=-i(z¶-x¶)Ly=zpxxpz¶x¶zˆ¶¶Lz=ˆ-ˆ=-i(x-y)xpyypx¶y¶x讨论：角动量与坐标的对易关系ˆ=(A)[Lx,x]？ˆˆˆ,x][Lx,x]=[ypz-zpy=[ypˆz,x]-[zpˆy,x]=ˆˆ-ˆ,x]-ˆy[pz,x]+[y,x]pzz[py[z,x]py[xa,pb]=idaba,b=x,y,z或1,2,3ˆ,x]=0[Lxˆ=(B)[Lx,y]？ˆˆˆ[L
6、x,y]=[ypz-zpy,y=ˆˆ,y][ypz,y]-[zpy=ˆˆ-ˆ,y]-ˆy[pz,y]+[y,y]pzz[py[z,y]py[xa,pb]=idaba,b=x,y,z或1,2,3ˆ,y]=0+0+0+iz[Lxˆˆˆ可概括出对易关系[La,xb]=eabgixg这里eabg称为Levi-Civita符号。ìe123=1其中í=-eagbîeabg=-ebaga,b,g=1,2,3或x,y,z。因为任何两个指标换位时都变号，故若有两指标相同则为0，如e112=e121=0.类似可得角动量分量与动量分量的对易关系：ˆˆ=eabgiˆ[La,pb]pgˆˆˆ[La,Lb]=
7、eabgiLg即，L´L=iLˆˆˆ（可作为角动量算符的定义）ˆˆ若定义角动量算符L的模方（L的平方）ˆ2ˆ2ˆˆˆ2+ˆ2ˆ2L=L=L×L=LxLy+Lz则ˆ2ˆa=x,y,z[L,La]=0,ˆ2ˆ2]=0例试证明对易关系：[L,Ly证明：ˆ2ˆ2+ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ2原式左边=[Lx+LyLz,Ly]=[Lx+Lz,Ly]=ˆ2ˆ2]+ˆ2ˆ2[Lx,Ly[Lz,Ly]=ˆˆˆ2+ˆˆ2ˆx+ˆˆˆ2]+ˆˆ2ˆLx[Lx,Ly][Lx,Ly]LL
