专题报告：Delta对冲的波动率选择

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1、国泰君安期货国泰君安期货GUOTAIJUNANFUTURES期权研究GUOTAIJUNANFUTURES衍生品研2014.08.29究近期专题报告Delta对冲的波动率选择波动率交易介绍波动率估计方法介绍——期权交易策略研究期VIX编制方法介绍权赵晓明期权隐含波动率研究研究0755-23982239zhaoxiaoming010678@gtjas.comCBOE波动率指数及其衍生产品的发展投资咨询资格Z0002848摘要：Delta对冲是一类重要的期权交易策略，在更为复杂的期权交易实践中有着大量的

2、应用，而Delta对冲的关键问题在于如何选择波动率值。本文将尝试在Black-Scholes分析框架下来对这一问题进行理论解析，并得出一些有用的结论。请务必阅读正文之后的免责条款部分第1页共6页国泰君安期货期权研究GUOTAIJUNANFUTURESDelta对冲是一类重要的期权交易策略，在更为复杂的期权交易实践中有着大量的应用。由于除波动率以外，期权Delta的计量因素均可在市场中观察得到，所以Delta对冲的关键问题在于如何选择波动率值。不失一般性，本文将尝试在Black-Scholes分析框架下来

3、对这一问题进行理论解析，并得出一些有用的结论。I、基本理论假设以股票期权为例，假设市场无摩擦（frictionless）、无套利（noarbitrage）、股票无限可分，无风险利率r、股息率δ均为常数，波动率σ未知。股票价格{,∈[0,]}遵循如下随机过程：=+,∈[0,]①其中是任意的布朗运动，、是任意的适应过程（AdaptedStochasticProcesses），给定。对于任意的常数σ>0，令,函数V(,;σ)是Black-S

4、cholesP.D.E的唯一解，则有：V(,;σ)+V(,;σ)+(−δ)V(,;σ)=V(,;σ)②∂2∂∂并满足终值条件：lim→V(,;σ)=()，其中()是连续函数。II、Delta对冲理论解析交易员构建自融资投资组合（self-financingportfolio）。在0时刻交易员以价格V(,0;σ)卖出欧式看涨期权，同时为Delta对冲初始期权头寸，交易员以价格买入标的股票，数量为=V(,0;σ)，其中σ表

5、示0时刻期权的隐含波动率，σ为用于Delta对冲的常数波动率。令≥0为时刻交易员的累计借贷余额（CumulativeBorrowing），则初始借贷余额如下：请务必阅读正文之后的免责条款部分第2页共6页国泰君安期货期权研究GUOTAIJUNANFUTURES=−V(,0;σ)=V(,0;σ)−V(,0;σ)∂=V(,0;σ)−V(,0;σ)+[V(,0;σ)−V(,0;σ)]③∂在自融资情形下、动态Delta对冲交易中

6、，时刻股票头寸的买卖调整相应地增减累计借贷余额，且也将受到无风险利率r和股息率δ的影响，令表示时刻交易员持有的标的股票数量且=V(,;σ)，因此在时刻的变化可以表示如下：=(+)+−δ=()−+−δ④应用Ito引理并代入②式，可得下式：dV(,;σ)=V(,;σ)+V(,;σ)+V(,;σ)∂2∂∂

7、=(−)V(,;σ)2∂+V(,;σ)−V(,;σ)+δV(,;σ)∂∂+V(,;σ)⑤∂结合④、⑤式，可得下式：=dV(,;σ)−dV(,;σ)+V(,;σ)−V(,;σ)∂∂++(−)V(,;σ)⑥2∂解⑥式，可得下式：=+V(,;σ)−V(,;σ

8、)−V(,0;σ)−V(,0;σ)∂∂+(−)V(,;σ)⑦2∂请务必阅读正文之后的免责条款部分第3页共6页国泰君安期货期权研究GUOTAIJUNANFUTURES结合③、⑦式，可得下式：=[V(,0;σ)−V(,0;σ)]+()−()+()(−)V(,;σ)⑧2∂