专题提升（七）二次函数的图象和性质的综合运用

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1、专题提升(七)　二次函数的图象和性质的综合运用【经典母题】用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0的解(精确到0.1)．解：略．【思想方法】　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解．【中考变形】1．[2016·烟台]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图

2、Z7－1所示，下列结论：①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有(　B　)图Z7－1A．①②B．①③C．②③D．①②③【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴b2－4ac＞0，∴4ac＜b2，故①正确；∵x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，故②错误；∵对称轴直线x＞1，∴－＞1，又∵a＜0，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0，故③正确．故选B.2．[2016·绍兴]抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的

3、值不可能是(　A　)A．4B．6C．8D．10【解析】∵抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，∴解得6≤c≤14.故选A.3．[2017·株洲]如图Z7－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(－1，0)与点C(x2，0)，且与y轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当

4、a

5、＝

6、b

7、时x2＞－1，以上结论中正确结论的序号为__①④__.【解析】由A(－1，0)

8、，B(0，－2)，得b＝a－2，∵开口向上，∴a＞0.∵对称轴在y轴右侧，∴－＞0，∴－＞0，a＜2，∴0＜a＜2，①正确；∵抛物线与y轴交于点B(0，－2)，∴c＝－2，③错误；∵抛物线图象与x轴交于点A(－1，0)，∴a－b－2＝0，b＝a－2，∵0＜a＜2，∴－2＜b＜0，②错误；∵

9、a

10、＝

11、b

12、，二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝，∴x2＝2＞－1，④正确．故答案为①④.图Z7－2　　　　图Z7－34．[2017·天水]如图Z7－3是抛物线y1＝a

13、x2＋bx＋c(a≠0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是__②⑤__.(只填写序号)【解析】由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，①错误；观察图象可知，抛物线与直线y＝3只有一个交点，故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实

14、数根，②正确；根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，③错误；观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，④错误；∵x＝1时，y1有最大值，∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，即x(ax＋b)≤a＋b，⑤正确．综上所述，②⑤正确．5．如图Z7－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，且过点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的函数表达式．图Z7－4解：(1)∵抛物线

15、与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，∴可设抛物线表达式为y＝a(x－1)(x－3)，把C(0，－3)的坐标代入，得3a＝－3，解得a＝－1，故抛物线表达式为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3.∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴抛物线的顶点坐标为(2，1)；(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．6．[2017·江西]已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)．(1)当a

16、＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．解：(1)当a＝1时，抛物线表达式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴对称轴为x＝2，∴当y＝