2019-2020学年高二数学下学期教学段考试题理

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2019-2020学年高二数学下学期教学段考试题理注意事项：1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）1.若关于的方程有唯一的实数解，则正数（）A.B.C.D.2.设为函数f（x）的导数且f（x）=则=（）A.4B.3C.2D.13.已知函数，则是（）A.奇函数，且在上单调递增B.偶函数，且在上单调递增C.奇函数，且在上单调递减D.偶函数，且在上单调递增4.由曲线与直线，所围成的封闭图形面积为（）A.B.C.2D.5.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（）A.B.C.D.6.已知为虚数单位，若复数，则（） A.B.C.D.或7.的展开式的第4项的系数为（）A.B.C.D.8.由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（）A.300B.338C.600D.7689.已知随机变量，且，则（）A.B.C.D.10.函数的最大值为（）A.B.1C.D.11.已知函数，则的大致图象为（）A.B.C.D.12.下列说法中正确的是（）①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱；②回归直线一定经过样本点的中心；③随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好. A.①②B.③④C.①④D.②③第II卷（非选择题90分）二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。）13.已知函数f(x)＝x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为   ．14.若函数满足都有，且，，则__________．15.某射手在一次射击训练中，射击10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率为_________．16.已知随机变量，，若，，则__________．三、解答题（本题有6小题，共70分。）17.（本题共10分）一个口袋中有2个白球和n个红球（n≥2，且n∈N*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P；（2）若n=3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f（p），当n为何值时，f（p）最大．18.（本题共12分）已知是虚数，是实数．（1）求为何值时，有最小值，并求出|的最小值；（2）设，求证：为纯虚数．19.（本题共12分）某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图（如下图）.记成绩不低于90分者为“成绩优秀” 　0.050.010.001　3.8416.63510.828(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为，求的分布列和数学期望；(II)根据频率分布直方图填写下面2x2列联表,并判断是否有95％的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关.甲班（A方式）乙班(B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计附：20.（本题共12分）数列满足，前n项和．（1）写出； （2）猜出的表达式，并用数学归纳法证明．21.（本题共14分）设，其中.（1）求证：曲线在点处的切线过定点；（2）若函数在上存在唯一极值，求正数的取值范围.22.（本题共10分）某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率． 参考答案123456789101112ABDDDCADBCAD1.A【解析】方法一：验证法。当时，可得函数与函数在处的切线是相同的。故选A。方法二：因为，由得。设，由题意得当且仅当函数和的图象相切时满足题意，设切点为，则，解得。选A。2.B【解析】所以，选B.3.D【解析】函数的定义域为R，，，所以.因此函数是偶函数；令，当时，，在上单调递增。根据复合函数的单调性的判定方法，可知：函数在上单调递增。故选D. 4.D【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，图中从左至右三个交点分别为，所以题中所求面积为，故选D5.D【解析】奇数数列，即为底1009个奇数.按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数；第1行到第行末共有个奇数；则xx位于第45行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第45行，从右到左第19列，则，故选D.6.C【解析】，所以，故选C。7.A【解析】7.由题意可得的展开式的第4项为，选A.8.D【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有中排法，共有种；当1在个位时，同样共有96种； 当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有种排法，再排7有3种排法，余下四数共有中排法，共有种综上：共有=768故选：D9.B【解析】由正态分布的对称性知，，故选B.10.C【解析】：∵f（x）=x2•ex+1，x∈[-2，1]，∴f′（x）=2x•ex+1+x2•ex+1=xex+1（2+x），当x∈（-2，0）时，f′（x）＜0．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0．∴当x=0时，原函数有极小值为f（0）=0；而当x=-2时，f（x）=当x=1时，f（x）=e2．∴函数f（x）=x2•ex+1，x∈[-2，1]的最大值为e2．故选C11.A【解析】当时，，，所以在单调递增，则B、D错误；当时，，，则在单调递减，单调递增，所以A正确，故选A。12.D【解析】①线性相关关系是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，越接近于，这两个变量线性相关关系越强，越接近于，线性相关关系越弱，①错误；②回归直线=+ 一定通过样本点的中心②正确；③随机误差是衡量预报精确度的一个量，它满足，③正确；④用相关指数用来刻画回归的效果，越大，说明模型的拟合效果越好，④不正确，故选D.13.【解析】由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立．又∵y＝－x＋在上单调递减，∴max＝，∴2a≥，即a≥.14.4033.【解析】在中，令，得，解得。令，则，解得。于是有，猜想。∴。15.0.49【解析】这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率为16.【解析】∵随机变量服从，∴，解得：.又，∴故答案为：0.1 17.【解析】（1）一次摸球从n+2个球中任选两个，有Cn+22种选法，其中两球颜色相同有Cn2+C22种选法；一次摸球中奖的概率P==（2）若n=3，则一次摸球中奖的概率是P=，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是P3(1)=（3）设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是f（p）=C31•p•（1﹣p）2=3p3﹣6p2+3p，0＜p＜1，∵f'（p）=9p2﹣12p+3=3（p﹣1）（3p﹣1）∴f（p）在是增函数，在是减函数，∴当p=时，f（p）取最大值∴p==（n≥2，n∈N*），∴n=2，故n=2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大．18.（1）（2）见解析【解析】（1）设，则所以，，又可得表示点到点的距离，所以最小值为解方程组并结合图形得（2）又，所以为纯虚数19.(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】（I）由频率分布直方图可得“成绩优秀”的人数为4.的可能值为0,1,2.，，故的分布列为012P所以，（II）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12、38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4、46.甲班(A方式)乙班(A方式)总计成绩优秀12416成绩不优秀384684总计5050100根据列联表中数据，由于4.762>3.481，所以有95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关20.（1），，；（2），证明见解析．【解析】（1）令，∵，∴，即，∴．令，得，即，∴． 令，得，即，∴．（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．①当时，，结论成立．②假设当时，结论成立，即，则当时，，，即．∴，∴．当时结论成立．由①②可知，对一切都有．21.(1)证明见解析；(2).【解析】（1）因为所以，又，所以曲线在点处的切线方程为 ，即，所以曲线在处的切线过定点.（2）因为，当，函数与在上都是增函数，所以在上是增函数，因为函数在上存在唯一极值，所以即所以所以正数的取值范围是.22.【解析】（1）=90，S2==49（2）由（1）可估计，μ=90，σ=7．P（76＜x＜97）=P（μ﹣2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）=+=0.8185