线性代数第二章第二节.ppt

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1、矩阵的加法主要内容数与矩阵相乘矩阵的乘法方阵的幂第二节矩阵的运算矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵矩阵矩阵乘积的意义1.定义定义2设A=(aij)m×n与B=(bij)m×n是两A-B=A+(-B).阵.显然有A+(-A)=O.由此可定义矩阵的差为若记-A=(-aij),则称-A为矩阵A的负矩阵A与矩阵B的和，记为A＋B．个同型矩阵，称m×n矩阵C=(aij+bij)m×n为矩一、矩阵的加法2.运算规律设A,B,C为同型矩阵,则(1)A+B=B+A(加法交换律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(

2、加法结合律);(3)A+O=O+A=A,(4)A+(-A)=O.其中O与A是同型矩阵;例设(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因;(2)求C的负矩阵.1.定义定义3设A=(aij)m×n,k是一个数,则为数k与矩阵A的数量乘积,简称数乘,记为kA.称矩阵二、数与矩阵相乘2.运算规律设A,B为同型矩阵,k,l为常数，则(1)1A=A;(2)k(lA)=(kl)A;(3)k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.矩阵相加与数乘矩阵，统称为矩阵的线

3、性运算.例设且求矩阵X.三、矩阵的乘法1.引例2.定义定义4设矩阵A=(aij)m×p,B=(bij)p×n,i=1,2,···,m;j=1,2,···,n,则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积,记作注意:只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.C=AB.cij=ai1b1j+ai2b2j+···+aipbpjC=(cij)m×n,其中例利用下列模型计算两个矩阵的乘积.例利用下列模型验证单位矩阵的性质.例4已知求AB.例5求矩阵的乘积AB及BA.定义了矩阵的

4、乘法运算后,对于线性方程组若令AX=b.则上述线性方程组可写成如下矩阵形式:AX=b.关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点:(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.左乘B”或“B右乘A”.作乘法时,应指明它们相乘的次序.如AB读作“A中AB和BA虽然都有定义,但ABBA.所以,在使AB与BA都有定义,它们也不一定相等.的矩阵A和B,AB有定义,但BA就没有定义.即AB有定义,BA不一定有定义.中如如AX=b.(3)矩阵的乘法不满足消去律,即如果但AC.例如AB=CB,BO,不一定能推出A=C.(2

5、)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.例如本节中AO,BO,但BA=O.3.运算规律(1)Ok×mAm×p=Ok×p,Am×pOp×n=Om×n;(2)设A是m×n矩阵,Em是m阶单位矩(5)k(AB)=(kA)B=A(kB).(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)C=A(BC);(4)A(B+C)=AB+AC,EmA=A,AEn=A;阵,En是n阶单位矩阵,则四、方阵的幂如果A是n阶方阵,那么,AA有意义,也有意义,因此有下述定义:另外还规定，１.定义Ａ0=E.Ａ相乘称为Ａ的m次幂，记为Ａm,

6、即定义设A是n阶方阵,m是正整数,m个2.运算规律设A为方阵,k,l为正整数,则阶方阵A与B,一般来说(AB)kAkBk.又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个nAkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.例设计算A2,A3,An(n>3).例6证明六、矩阵的转置1.定义定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到例如矩阵的转置矩阵为一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT或A′.2.运算规律设A，B，C，A1，A2，···，Ak是矩阵，且(A1A2…Ak)T=AkT···A2TA1T;(1)(AT)T=

7、A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;则它们的行数与列数使相应的运算有定义，k是数，(5)若A为n阶矩阵,则(Am)T=(AT)m,A为反对称矩阵的充要条件是AT=-A.(6)A为对称矩阵的充要条件是AT=A;m为正整数;例7已知求(AB)T.例8设A为n×1矩阵,且ATA=1,En为n阶单位矩阵,B=En-2AAT,证明:B为对称矩阵,且B2=En.七、方阵的行列式1.定义定义6由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),叫做方阵A的

8、行列式,记作

9、A

10、或detA.2.运算规律设A,B为n阶方阵,为数,则有(1)

11、AT

12、=

13、A

14、;(2)

15、A

16、=n

17、A

18、;(3)

19、AB

20、=

21、A

22、

23、B

24、.例9行列式

25、A

26、的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下方阵称为方阵A的伴随矩阵,试证AA=AA=

27、A

28、E.八、共轭矩阵复数,记称为A的共轭矩阵.当A=(aij)为复矩阵时,用表示aij的共轭aij共轭矩阵有以下运算规律(设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的):本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容