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1、正弦定理和余弦定理的综合应用1.正弦定理_____________________,其中R是△ABC的外接圆半径.2.正弦定理的其他形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.(2)(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.3.余弦定理a2=_____________,cosA=__________;b2=_____________,cosB=__________;c2=_____________,cosC=__________.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC考向一正弦定理、
2、余弦定理的简单应用【典例1】(2016·黄冈模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则B=()【规范解答】(1)选A.根据正弦定理,设则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.将它们代入asinBcosC+csinBcosA=整理得sinAcosC+cosAsinC=即sin(A+C)=又sin(A+C)=sin(π-B)=sinB,所以sinB=因为a>b,所以B必为锐角,所以B=考向二利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状【典例2】(2016·洛阳模拟)设△ABC
3、的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定【规范解答】(1)选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,所以A为直角,所以三角形ABC是直角三角形.2.(2016·汕头模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若原点到直线xsinA+ysinB+sinC=0的距离大于1,则此三角形形状为()
4、 A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解析】选C.由已知,所以sin2C>sin2A+sin2B.又=2R,所以,c2>a2+b2.由余弦定理得cosC=<0,所以,C为钝角,三角形为钝角三角形.3.(2016·六安模拟)△ABC中,如果那么△ABC是() A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选B.由正弦定理及整理得cosA=cosB=cosC,因为A,B,C为三角形内角,所以△ABC是等边三角形.【典例3】(2016·武汉模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bsinA
5、-acosB=0,且b2=ac,则的值为()A.B.C.2D.4考向三正弦定理、余弦定理的综合应用【解析】选C.△ABC中,由bsinA-acosB=0,利用正弦定理得sinBsinA-sinAcosB=0,所以tanB=,故B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-ac,即b2=(a+c)2-3ac,又b2=ac,所以4b2=(a+c)2,求得=2.变式训练.1、(2016·南阳模拟)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=()【解析】选D.因为3sinA=5s
6、inB,由正弦定理可得:3a=5b,所以a=又b+c=2a,可得c=2a-b=不妨取b=3,则a=5,c=7,所以cosC=因为C∈(0,π),所以C=【规律方法】与三角形的边长、角度等有关问题的求解思路(1)若求角,则先把已知条件中的边用正弦定理、余弦定理转化为角的三角函数关系,再求解.(2)若求边,则先把已知条件中的角用正弦定理、余弦定理转化为边的关系,再求解.思路方法技巧
