第五章 平面问题的直角坐标解答ppt课件.ppt

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1、§5-1平面应变问题§5-2平面应力问题第五章平面问题的直角坐标解答§5-3应力解法把平面问题归结为双调和方程的边值问题§5-4用多项式解平面问题§5-5悬臂梁一端受集中力作用§5-6悬臂梁受均匀分布荷载作用§5-7简支梁受均匀分布荷载作用特殊的形状、外力简化、抽象弹性力学空间问题平面应变问题特点：一切现象发生在同一平面内（二维问题）弹性力学平面问题弹性力学平面问题平面应力问题§5-1平面应变问题平面应变：很长的柱体，在柱面上承受平行于板面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿长度变化。x平面位移

2、问题（习惯称为平面应变问题）即：一切应力、应变和位移分量均不随z轴的改变而改变，只是x、y的函数。由对称知：再由得：令：得：一、平衡微分方程二、几何方程平面应变问题的基本方程三、应变协调方程四、广义Hooke定律（物理方程）五、边界条件六、用应力表示协调方程对于只考虑常体力的情况：即体力分量Fx、Fy不随坐标变化（如重力和平移时的惯性力）此时协调方程可简化为：----列维方程§5-2平面应力问题平面应力：等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。板面不受力，所以

3、有：由于板很薄，外力又不沿厚度变化，应力沿板的厚度又是连续分布的，故可认为在整个薄板的所有各点都有：----平面应力问题同时：应变分量也只是x、y的函数一、平衡微分方程二、几何方程平面应力问题的基本方程三、应变协调方程四、广义Hooke定律（物理方程）对于只考虑常体力的情况：即体力分量Fx、Fy不随坐标变化（如重力和平移时的惯性力）此时协调方程可简化为：----列维方程平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式存在如下的变换关系将平面应力中的关系式就可得到平面应变中的关系式:作代换由于这种相似性，在解平面应变

4、问题时，可把对应的平面问题的方程和解答中的弹性常数进行上述代换，就可得到相应的平面应变问题的解。§5-3应力解法把平面问题归结为双调和方程的边值问题对于只考虑重力的情况（Fx=0，Fy=p）平衡微分方程列维方程引入应力函数U，并令则它们将自动满足两个平衡微分方程同时，还应满足协调（相容）方程，将其代入列维方程得到应力函数U应满足的方程：可见应力函数应当是重调和函数。现在的问题是求解上述方程的边值问题。它的解答一般都不可能直接求出，在解决具体问题时，只能采用逆解法、半逆解法。静力边界条件可表示为：简写§5-4用多

5、项式解平面问题逆解法，就是先设定满足相容方程的应力函数U多项式逆解法求出应力分量，再根据应力边界条件决定在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应的面力，倒过来承受对应面力的弹性问题的应力解就是所设的应力函数和根据它们求出的应力分量。然后根据1、取应力函数U=a0+a1x+b1y为一次函数，显然满足协调方程，相应的应力分量为：σx=0，σy=0，τxy=τyx=0对应于无应力状态。因此，在任何应力函数中增减x、y的一次函数不影响应力分量的值。2、取应力函数U=a2x2+b2xy+c2y2为二次函数，显然也满足协调方

6、程，相应的应力分量为：σx=2c2，σy=2a2，τxy=τyx=-b2对应于均匀应力状态。当b2=0，代表双向均匀拉伸；当a2=c2=0，代表纯剪。σx=6d3y，σy=0，τxy=τyx=0对应下列形状的的矩形梁，对应的面力如下：3、取应力函数U=a3x3+b3x2y+c3xy2+d3y3为三次函数，显然也满足协调方程。如只考虑U=d3y3的情况，则相应的应力分量为：对应的面力在两侧必须是线性分布的，上述应力分量才是完全精确的，如果按照其他静力等效的分布形式，上述分量的解答不是精确的，但是，当梁的高度较小时

7、，梁的上下边界为主要边界，两端边界成为次要边界，这时，根据圣维南原理，该解答在离两端较远处仍是正确的。3a4+c4+3e4=0得：对应下列形状的的矩形梁，对应的面力如下：4、取应力函数U=a4x4+b4x3y+c4x2y2+d4xy3+e4y4为四次函数，为使其满足协调方程，必须：特别：U=d4xy3，则相应的应力分量为：σx=6d4xy，σy=0，τxy=τyx=-3d4y2在垂直x轴的边界上：在垂直y轴的边界上：由边界条件：§5-5悬臂梁一端受集中力作用半逆解法针对求解的问题根据弹性体的边界条件形状和受力情

8、况，假定部分或全部应力分量为某种函数，将原来的偏微分方程化为常微分方程，推出应力函数的全部表达式，试解该方程，如果各方面的条件都能满足，就得到了正确的解答，否则，就要另作假设，重新考虑。逆解法的用途十分有限，半逆解法是弹性力学基本方程的主要方法，其中的关键是如何根据问题的特点确定试函数的形状，如对称性，量纲等，对于梁类问题可根据材料力学的知识确定。采用半逆解法：取应力函数U=d4xy3