由协方差函数恢复谐波.pdf

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1、由协方差函数恢复谐波’V.F.Pisarenko(苏联科学院地球物理研究所)摘要本文介绍一种由协方差.这种方法的基础是关于兰角函数矩问题函数恢复谐波的新方法。`,,的caarthoeodyr定理讨论了这种方法与最大嫡谱估计法之间的关系研究了稍加噪声分量的影响.还讨论了一个数值例子.己,健全J11习:最近发展了几种估计平稳随机过程和噪声场的谱的新方法.,1`最大似然’n1969,估计法(份钾).2`最大’`’EE,Burg,1972;r,嫡或自回归估计法(在本文中我们称之为M见亦见Ulcyh,。n。l,72及工.00朋1971)P.r”(1969)从自回归过程的观点来

2、处理这种估计方法.3基于协方差矩阵的本征,nk.o值和本征矢量的谱估计法这是由本文作者提出的(iPsaer1。972)当要,,,求谱峰有高的分辨力时这些方法特别有用它们已被应用于各种各样的科学领域,,、、。譬如在地球物理学方面用于研究地球的自由振动地震表面波微震的谱等等在,-本文中我们还要介绍另外一种检测谱峰的方法这是以关于三角函数矩间题的aCarht。。仪月。yr定理为基础的同时我们要证明MEE事实上是我们新方法的平滑形式在本文的最后,。一节我们研究在记录中加上少量噪声对这种估计方法的影响一、由协方差函数的有限截段恢复谱的问题,,,*。设《灼为一复平稳随机过程平稳

3、是广义的它取决于离散的时间(譬如见Dob1953)。假定该过程的平均值为零过程城t)的谱函数F(入)与其协方差函数B(的的关系为万二。XB(“)一(:)p(““)`F(`)““(O一!{一(1),。当假定男(t)是实过程时我们将明确地说明,尸:若F。)绝对连续它的导数称为谱密度。)二F`入P(入)()(皿),十一尸(j一,如果F。)在频率与处有一阶跃jP即若F(凡0)入0)=jP则如果我们引入占函数“”..RetrievalofHarmonics介oma伪vairanee凡netionhTeGeoph邓icalJournaloftheRoyal....Astnoea

4、oeetyVol,3,9ormilsi33吻1973:。估计其意思为x(t)为复广义平稳的随机序列译注—4一,;,,的话(幻依然成立在这种情况下p。)包含内占价一入,)分量协方差函数B(幻包含谐沙。尸sexp(`入,k)假,定我们有一段长为Zm的协方差函数即我们有一B(无)。《无(。(3)真实的谱?,函数F位)将是怎么样的呢开始我们假定值B(幻完全已知没有任何噪声或误。差.引+1:理1设B(k)的截段使得协方差矩阵B(二阶)是非退化的,.一。一。.1,。召于{B(无j)},…(4),。则存在无穷多个谱函数F。)在}倒(.时与给定的函数B(的的关系为方程(l),二:为

5、证明这个引理考虑MEE尸(入)·。。。。*一一’p(入月,一p(““)<入、!卜}鬓{一(5)k,;,,一。.:,,.。`’,其中{月}…是矩阵B的逆这种估计方法称为最大嫡估计法因为在满足关系:二(派)一一p(““,p(入,d入一B(“,“,,《。!{,二nnon,。,的所有谱密度函数中它使`积分(,二)一109”(入)d`为最大(见S协`。48)应注意!in,,P式入)正好是.阶自回归过程的谱密度(见eJiksn及Watst1970)这种过程的协方差函数。的前m个值等于B(的截段的那些给定值,,因为假定B是正定的故对于足够小的肠R~B一种I也将是正矩阵(肠)定的(

6、这里I表示一1。,:。阶单位矩阵)种B可表为两个正定矩阵之和所以对于足够小的B=R(林)+灿I(6).,*,。.:.,,用{八}介…表示R(林)的逆我们得到一族谱密度”刁r。。。r。`exp一`入“()(7)…轰。,7它们精确地相应于协方差函数B(的的给定截段我们注意到()中的第二项表示协方差函数。。中的占函数林6伍)引理1得证reo,一二。二的任。,由以athedyr定理(见下面第二节)可得对于满足<入<何入总存在一谱,,。,函数F。)它相应于B认)的给定截段并在频率入上有一阶跃同时也有可能选择一个画,,:,,。数尸仆)在任何预先定好的有限频集凡入…入上有阶跃(虽

7、然这些阶跃的幅度不能任意率地选择,,。当增加时这些幅度一般趋于零),所以如果一离散时间函数的谱估计值是由协方差函数的有限截段得到的并且相应协方,,差矩阵是非退化的则必须考虑到即协方差函数的值精确地已知也存在无穷多个相应的谱使。,,函数同时在任何频率入上不存在谱密度的上界因为总可以安排一个占函数出现于频率。,入处尽管如此在这种情况下对用某种谱窗平滑过的那些谱函数还是能够得到某种上界和下。。界的特别有如下定理成立,,,r,,w入2,定理设恤)为一谱窗即的一个实周期函数周期为可微次(>l)并`r’}。(入)}(K。BF。这里K为某个常数我们用(劝表示与谱函数(劝的关系