关于弹簧振子振动频率的探讨.doc

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1、关于弹簧振子振动频率的探讨吴三丰，学号pb0620321&如图(1),一个弹簧联上一个振子,质量为m,弹簧劲度系数为&显然有：mx=-kx图⑴如图(2)振子m受控于劲度系数为kl,k2的两弹簧作简谐振动,自静止时位置。起振，求其振动方程.当m位移为x时，可得方程：mX=一(kj+k2)x该方程为简谐振动方程,解为：x=Asinm基于此，增加弹簧的数量以及振子数目可以使问题变得复杂，然而好在这类振动方程是线性的，增加之后只不过方程个数增多，解出该线性方程组即可.如图(3),弹簧原长时两振子静止于ol,o2两点，现弹簧受迫变形,随后撤去外力，求其振动的频率•

2、设ml自ol点位移为xl,m2自o2点位移为x乙则由牛顿第二定律可得：d2即箭mix!=-k（x2一xl）、m2x2=k（x2一xl）对于图⑶，再增加一个振子,如图⑷，这可得到如下运动方程:mxl=k（x2一xl）mx2=-k（x2一xl）+k（x3-x2）mlO1o2该方程系数矩阵为:-21图⑶可以发现，所列方程皆是二阶线性微分方程组，解此类微分方程组,可由线性代数方法求得,现给出一般的情况.（以上假定系数矩阵可以相似对角化，并且cl到C2为负的，这样保证振动为简谐振动)则显然，这个方程非常易解，可知:xi=AcosQ—ctt+q>)于是，由得到：Xi是

3、Xl；・・・,xn‘的线性组合，那么、二H…八匸貢就是原振子振动的特征频率，各振子的振动为这些在特征频率下的简谐振动的组合.现解决(*)式留下的问题.1［的特征值为0,-§，一-1/3km于是，当图(4)中系统受外力并随后消失后，系统的振动频率只能为0,、語,、三种，其中0意义是明显的:系统平动或静止.如图(5),6个质量均为m的小球，串在光滑圆环上,彼此间用劲度系数均为k的6个弹簧相连,整个系统在水平面内•当各小球处在平衡时，弹簧均为原长试求特征频率.图⑸把小球依次编号，设各小球偏离平衡位置位移为igi切・・・％,统一表为％则各球动力方程为:mun=k(

4、u叶1-nJ-k(un・叫.J=kCu^x+un+1-ZuJ于是，其系数矩阵为：厂-Z100000011-210001-210001-Z10001一210001其特征值为厂4Q-3厂3厂「1・总之,运动方程系数阵特征值是与振动特征频率一致.