信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统SandS-2-5.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§2-5信号的广义傅里叶级数描述国家“十二五”规划教材——《信号与系统》2-5信号的广义傅里叶级数描述图2-5-1a)信号；b)信号非零部分的均值分量；c)信号的分量本书第2讲中指出，任何信号都可以分解为偶信号分量和奇信号分量之和的形式，即其实，信号分解为信号分量之和的形式，可以更好地展现信号的重要特征。例如，图2-5-1a)所示的信号被分解为图2-5-1b)和c）所示的信号分量、，这两个信号分量清楚地展示了信号的两个特性，即信号非零部分的均值分量和信号

2、的斜率。2-5信号的广义傅里叶级数描述将一个复杂信号分解成易于识别且具有简单特性的信号分量需要用到级数理论。假设在区间内，用一组函数的线性加权组合逼近一个信号，即通过级数（2-5-1）逼近信号。式中称为基函数（或信号），为权系数，通过选择基函数和权系数在区间内用式（2-5-1）重构（或近似）信号。显然，可以选择基函数强调信号的某种具体特性，亦可以选择基函数作为系统分析用的信号分量。2-5信号的广义傅里叶级数描述（2-5-1）应用中组合基函数的项数选择取决于逼近精度的要求，一般选取的项数越多，越接近，有时

3、使N趋于无穷大也是必要的。本讲首先考虑基函数和信号是实函数的情况，之和再扩展到对复函数信号的讨论。称为信号的建模误差。和在区间内的近似程度的度量由近似准则确定。应用中一般考虑所谓的似然近似准则，典型的有，最大误差信号最小值准则：（2-5-2）2-5信号的广义傅里叶级数描述误差信号最小面积准则：（2-5-3）误差信号平方最小面积准则：（2-5-4）其中，最小值是对于一组基函数选择权系数，使得在区间内尽可能逼近。另外，式（2-5-2）近似准则基于信号建模误差的最大值，并使建模误差最小化；式（2-5-3）近似

4、准则包括区间内信号的建模误差，并使其包围的面积最小化，因此它比式（2-5-2）有更小的建模误差；式（2-5-4）近似准则基于信号建模误差的能量，其优点在于给较大的建模误差匹配较大的权重，因此它比式（2-5-2）和式（2-5-3）应用更为灵活。2-5信号的广义傅里叶级数描述基于此，本书在后面的讨论中将使用误差信号平方最小面积准则，即式（2-5-4）作为信号建模的误差近似准则，这就意味着对于一组给定的基函数，将调整权系数使下式给出的平方误差积分为最小（2-5-5）注意，上述建模误差的近似准则局限在区间内，故

5、在区间外求是没有意义的。若要考虑整个时间轴的近似，请参见第3章相关内容。2-5信号的广义傅里叶级数描述例2-5-1卫星姿态控制系统的激励信号（电压）和两个基函数和如图2-5-2所示。试求出系数使级数在区间内以平方误差积分准则逼近，已知。图2-5-2卫星姿态控制系统的激励信号和基函数2-5信号的广义傅里叶级数描述解：由图2-5-2已知因此，对于，有以及欲使为最小，需要计算可求出将其带入中，得到原信号和逼近信号的波形如图2-5-3a)所示。2-5信号的广义傅里叶级数描述对于，有以及欲使为最小，需要联立计算2

6、-5信号的广义傅里叶级数描述联立解上述方程，得到将它们带入，得到积分平方误差为原信号和逼近信号的波形如图2-5-3b)所示。图2-5-3a)时和的波形；b)时和的波形2-5信号的广义傅里叶级数描述由图2-5-3可见，在积分平方误差意义上，在区间内，时更为接近。另外，由减小到也说明了这一点。例2-5-1在信号重构过程中分别用一项和二项对信号进行了逼近。可以发现，当用二项逼近时，随着第二项的加入导致了第一项的系数发生了变化，这是由于选定了特殊基函数的结果。为便于计算，工程中希望在为提高信号建模精度不得不增加

7、更多项时，前面各项的系数不会发生变化。级数展开中的这种系数的不变性可以避免系数的重复计算问题。2-5信号的广义傅里叶级数描述例2-5-2例2-5-1中的基函数由图2-5-4给出时，重新计算系数使级数在区间内以平方误差积分准则逼近，已知。图2-5-4基函数2-5信号的广义傅里叶级数描述解：对于，有以及欲使为最小，计算求出将其带入中，得到原信号和逼近信号的波形如图2-5-5a)所示。2-5信号的广义傅里叶级数描述以及对于，有欲使为最小，需要联立计算2-5信号的广义傅里叶级数描述将它们带入，得到积分平方误差为

8、原信号和逼近信号的波形如图2-5-5b)所示。图2-5-52-5信号的广义傅里叶级数描述本例中对于选定的基函数，当增加第二项时，第一项的系数保持不变。而例2-5-1中的基函数则不具备系数不变性。一组基函数的系数不变性在数学上就是区间的正交性。定义：实数基函数在区间是正交的，当且仅当（2-5-6）式中。2-5信号的广义傅里叶级数描述为了说明基函数的正交性与基函数的系数不变性的等价关系，不妨针对例2-5-1和例2-5-2中的基函数进行讨论。在例