信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第2章-连续时间信号与系统《信号与系统》第二章-第12讲.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§2-12微分方程系统的特性国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点零状态响应、零输入响应冲击响应2-12微分方程系统的特性如果需要获得关于LTI系统的更多信息，可以进一步将描述系统的微分方程的响应分解成两个响应分量的叠加：其中一个响应分量只由系统的初始状态（或条件）决定，称为系统的自然响应（记为），由于此时系统的输入被置为零，故又称为零输入响应（记为）；另一个响应分量则由系统的外部输入信号产生，称为系统的受迫响应（记为），由于此时系统的初始状态被置为零，故又称为零状态响应（记为）。因此，对于连续时间LTI系统，其微分

2、方程的完全响应（解）就可以有以下3种描述形式2-12微分方程系统的特性齐次解-特解描述形式：（2-12-1）自然响应-受迫响应描述形式：（2-12-2）零输入响应-零状态响应描述形式：（2-12-3）内容安排2-12-1自然响应2-12-2受迫响应2-12-3冲击响应2-12-6特征值2-12-5线性2-12-4零状态响应、零输入响应和阶跃响应2-12-1自然响应前面已经强调，微分方程系统的初始状态决定方程的齐次解，而齐次解在完全解中的成份又被称为系统的自然响应。注意到自然响应假定了零输入条件（如果输入不为零则强迫置零），描述的是由非零初始状态所体现的系统储能的方式，故又称为

3、零输入响应显然这3个术语彼此是等价的。由于自然响应有零输入条件约束，故其响应形式应如齐次解形式，并且与特解无关。而齐次解中的待定系数，可根据系统的初始状态确定。除此之外，因为齐次解满足整个时间区间，不需要进行初始条件的变换就可求出系统的自然响应。内容安排2-12-1自然响应2-12-2受迫响应2-12-3冲击响应2-12-6特征值2-12-5线性2-12-4零状态响应、零输入响应和阶跃响应2-12-2受迫响应受迫响应是系统的初始状态为零，仅由系统外部输入信号产生的响应。这里，初始状态为零称为系统处于零状态，而零状态意味着系统中没有储能，因此描述了当系统处于零状态时系统受输入信

4、号驱动的结果。显然，受迫响应在形式上与系统的完全解是相同的。受迫响应依赖于系统的特解，仅仅在时成立。内容安排2-12-1自然响应2-12-2受迫响应2-12-3冲击响应2-12-6特征值2-12-5线性2-12-4零状态响应、零输入响应和阶跃响应2-12-3冲激响应如果在零初始状态条件下考虑构建连续时间LTI系统的数学模型，则获得系统的另一种描述形式，即卷积积分（或叠加积分）模型。在卷积积分模型中，系统的特性是用单位冲激响应描述的，故需首先定义连续时间LTI系统的单位冲激响应。定义连续时间LTI系统的单位冲激响应是以单位冲激函数作为系统的输入信号，并且假设系统的初始状态为零时

5、的系统输出，记为。需要强调的是，单位冲激函数仅仅在系统的初始时刻时驱动系统。2-12-3冲激响应如前所述，连续时间LTI系统的动态特性可用阶常系数微分方程来建模，其一般形式由式（2-11-1）描述。如果令系统的输入信号，则系统的单位冲激响应根据定义应为（2-12-1）式中是系统的单位冲激响应，且根据定义有：2-12-3冲激响应对于，因为有故式（2-12-1）在形式上就等同于齐次方程，即（2-12-2）但系统在时的初始条件，必须另行确定。一般情况下，系统在时的初始条件可以通过奇异函数匹配法（直接法）或者系统的线性及时不变性得到。但在时域中奇异函数匹配法较为繁琐，所以下面的内容将

6、局限在基于线性及时不变性的方法上。2-12-3冲激响应对于式（2-12-2），可将系统的单位沖激响应分解为两部分，再用线性性质和叠加原理求解，步骤如下：第一步：定义一个基本单位沖激响应为（2-12-3）对于，因为有，故式（2-12-3）在形式上就等同于齐次方程，即（2-12-4）该系统的初始条件是，为方便计，不妨令式中系数。2-12-3冲激响应通过推理可知，在时刻式（2-12-3）等式右端是一个单位沖激函数，因此式（2-12-3）在等式左端必存在一个函数以便匹配方程两端。显然,方程左端只有项能够包含函数项，相应地，的积分项中只能包含单位阶跃函数项（若包含，则将包含，而不是），

7、因此初始条件必有。这就说明在处存在一个跳跃间断点，且这个跳跃必须等于1，而其它各项在处均不存在跳跃间断点，这也就意味着2-12-3冲激响应综上所述，可以得到结论：在时刻，基本单位冲激响应的初始条件为（2-12-5）第二步：根据LTI系统的线性性质和微分特性，可得到由式（2-12-1）定义的LTI系统的单位冲激响应为（2-12-6）2-12-3冲激响应例2-12-1系统微分方程如下试求其单位冲激响应。解：系统的单位冲激响应将满足2-12-3冲激响应由式（2-12-6）可知上述微分方程的单位冲激响应为其中，