材料力学 教学课件 作者 范钦珊 第五章 圆轴扭转.ppt

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1、第五章圆轴扭转§5-1外加力偶矩与所传递功率的关系§5-2纯剪切状态与切应力互等定理§5-3圆轴扭转时的切应力分析§5-4圆轴扭转时的迁都与刚度计算§5-5结论与讨论5.1外加力偶矩与所传递功率的关系求横截面n-n上的内力偶矩截面法作用于横截面上的内力偶矩称为扭矩由作用与反作用原理可知，在部分Ⅱ横截面n-n上也必然有大小相等、转向相反的扭矩T发生扭转变形的外力偶矩，称为扭转力偶矩1.已知外力2.已知传递的功率P(kW)和转速n(r/min)得5.2纯剪切状态与切应力互等定理一、实验观测现象(1)纵向线都倾斜了相同的角度，变为平行的螺旋线。5.2.1薄壁圆筒的扭转时的切应

2、力与纯剪切状态在圆筒表面画一系列纵向线和圆周线。(2)圆周线绕杆轴线旋转了不同的角度，但仍保持为圆形，且在原来的平面内。推断：(a)变形后，横截面仍保持为平面；(b)横截面上没有正应力，只有切应力，切应力的方向与半径垂直。研究薄壁筒的任一横截面横截面上的扭矩微内力τdA对截面形心的力矩为τdA·R微面积dA=δRdθ二、切应力的计算即积分得取一单元体力τdydz左、右侧面上、下侧面5.2.2切应力互等定理平衡条件∑Mz=0得τdydzdx-τ′dxdzdy=0力偶矩(τdydz)dx切应力τ切应力τ'力τ'dydz力偶矩(τ'dxdz)dyτ=τ′切应力互等定理在单元体

3、相互垂直的截面上，切应力必然成对出现，且大小相等，方向都指向(或背离)两平面的交线纯剪切应力状态单元体侧面上只有切应力，没有正应力的状态称为纯剪切应力状态。直角的改变量即为切应变低碳钢的曲线在弹性极限范围内5.2.3剪切胡克定理上式称为剪切胡克定理。G称为材料的切变模量,单位为帕(Pa)切变模量G、弹性模量E和泊松比三者之间的关系是5.3圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转的平面假设变形前为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，半径仍保持为直线，各横截面的形状、大小及间距均不改变。5.3.1平面假定圆轴扭转时横截面上的应力可以从三个方面导出1．几何方面2．物理方面3．静力学方

4、面5.3.2．变形协调方程取长为dx的微段从该微段中切取一楔形体由几何关系及小变形假设两截面的相对扭转角为表示扭转角φ沿轴线的变化率，称为单位长度扭转角在同一半径为ρ的圆周上，各点处的切应变γρ均相同，且与ρ成正比。5.3.3．物理方面根据剪切胡克定律，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比。横截面上半径为ρ处的切应力为(1)横截面的切应力与该点到圆心的距离ρ成正比。(2)纵向截面上的切应力也沿半径线性变化。5.3.4．静力学方面微力矩截面上的扭矩为常量，得引进记号Ip称为横截面对圆心的极惯性矩圆轴单位长度扭转角的计算公式5.3.5圆轴扭转时横截面上的切应力表达式圆轴横截

5、面上任一点处的切应力切应力达到最大值引进记号Wp称为抗扭截面系数。(1)只适用于弹性范围内的等直圆轴(2)对于小锥度圆轴，也可以用以上各式近似地计算。说明：例图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=60mm。由轮3输入的功率P3=60kW，轮1输出的功率P1=24kW。轴作匀速转动，转速n=300r/min。材料的许用切应力[τ]=70MPa。试校核轴的强度。解(1)计算外力偶矩，画扭矩图(2)校核扭转强度尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面的直径也大，对AC和DB两段轴都需要作强度校核。AC段DB段轴满足强度要求。5.4圆杆扭转时的强度和刚度计算

6、5.4.1圆轴扭转实验与破坏现象1观察变形现象：2变形现象：（1）纵线在变形后近似为直线，但相对于原位置转了一个角。（2）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。3推论：（1）圆杆在扭转后横截面保持为垂直杆轴线的平面，且大小、形状不变，半径为直线。（2）用纵线和环线截取的单元体处于纯剪切状态。（3）圆杆的横截面上只有剪应力作用，方向垂直于半径。(1)为材料的许用切应力(3)对变截面轴,需要综合考虑T和Wp来确定τmax。(2)对于等直轴，最大切应力发生于扭矩最大截面上的外边缘。5.4.2圆轴扭转强度条件(1)实心圆截面空心圆截面杆横截面上的切应力仍然呈线性分布，最大切应力发

7、生在截面外边缘。(2)空心圆截面极惯性矩与抗扭截面系数例3-2图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=60mm。由轮3输入的功率P3=60kW，轮1输出的功率P1=24kW。轴作匀速转动，转速n=300r/min。材料的许用切应力[τ]=70MPa。试校核轴的强度。解(1)计算外力偶矩，画扭矩图5.4.3圆轴扭转刚度计算相距为dx的两截面间的相对扭转角为相距为l的两横截面间的相对扭转角为当T和GIp为常量时GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。扭转角φ的单位是rad。一、扭转角二、刚度条件取长为dx的微段是最