材料力学 教学课件 作者 范钦珊 第十一章 材料力学中的能量方法.ppt

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1、第十一章材料力学中的能量方法§11.1基本概念§11.2互等定理§11.3虚位移原理、内力虚功§11.4莫尔方法§11.5莫尔积分应用直杆时的图乘法§11.6卡式定理§11.7结论与讨论11.1.1作用在弹性杆件上的力所做的常力功和变力功11.1基本概念◆外力功：在外力作用下，固体的变形将引起外力的作用点沿其作用方向产生位移，便引起外力做功。◆变形能或应变能：弹性固体因变形将具有作功的本领，即能量。◆能量法：根据能量守恒原理，外力功w应等于弹性体的应变能Vε。本章主要研究能量法的以下问题：1.外力功与杆件应变能的计算；2.能量法的卡式定理；3.能量

2、法的单位载荷法与莫尔积分；4.能量法的力法求解超静定结构。一、外力功的计算线弹性结构上的外力功的计算。b)在线弹性范围内，F′与Δ′成正比a)1、F为一个集中力，Δ就是沿F作用方向的线位移1、轴向拉压杆◆需要指出：F与Δ均为广义量2、F为一个集中力偶，Δ就是角位移3、F为一对等值、反向的集中力或集中力偶，Δ就是相对线位移或相对角位移11.1.2、杆件的弹性应变能轴向变形轴力在d△l上作的功整根杆的应变能当FN/EA为常量时2、圆轴扭转扭转圆轴的应变能当T/GIp为常量时3、对称弯曲梁对称弯曲梁的应变能◆由于刚架同样也是主要承受弯曲变形的结构，所以，

3、上式亦适用于刚架。4、组合变形杆例11-1悬臂梁如图所示，试计算其应变能以及B截面的转角。已知梁的抗弯刚度为常量。解：（1）梁的应变能梁任一横截面上的弯矩（2）截面的转角梁上外力的功为MexBAl即得梁的应变能由于是旋向与外力偶矩的旋向一致，为顺时针。例11-2试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为EI，杆的拉压刚度为EA。解（1）CB杆的轴力（2）由截面法，得梁的弯矩方程为得梁的应变能即得CB杆的应变能所以，整个结构的应变能ClABxqa例11-3在下图所示三角支架中，若两杆的拉压刚度均为EA，试计算结点的竖直位移ΔBV。解（1）计算外力功

4、（2）计算应变能由截面法，得AB、CB两杆的轴力分别为三角支架上外力的功为三角支架的应变能21l45°FACB（3）计算ΔBV由得§11.2互等定理11.2.1、功互等定理在载荷F1和F2共同作用下，1、2点处的位移先加F1，再加F2先加F2，再加F1应变能与加载次序无关F1在F2单独作用下引起的1点的位移△12上所作的功，等于F2在F1单独作用下引起的2点处的位移△21上所作的功，这就是功互等定理。11.2.2、位移互等定理当F1=F2时，有△12=△21当F1、F2数值相等时，F2在1点引起的沿F1方向的位移△12，等于F1在2点引起的沿F2方

5、向的位移△21，此为位移互等定理。例所示外伸梁，抗弯刚度EI为常量。已知在跨度中点C处作用集中力F时，截面B的转角为，试求在截面D作用力偶MD时，跨度中点C的挠度。解图a为第一载荷系统，图b为第二载荷系统由功互等定理于是有11.3.1虚位移原理（1）刚体虚位移——满足约束条件的假想的任意微小位移。虚位移原理——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。11.3虚位移原理、内力虚功（2）可变形固体满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。——外力作用下，物体产生变形的同时产生内力虚位移——虚位移原理——外力和内力对

6、于虚位移所作的总虚功等于零（平衡的充要条件），即We（外力虚功）＋Wi（内力虚功）＝0（8－15）1.梁的虚位移原理图a所示的位移为由荷载产生的实际位移，简称实位移。荷载对于其相应位移上所作的功为实功。图b所示的位移为梁的虚位移，它是满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移，与梁上的荷载及其内力完全无关。(a)x实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy梁上广义力的作用点沿其作用方向的虚位移分别为外力对于虚位移所作的总虚功为(a)(a)外力虚功(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)内力虚功取梁的dx微段进行分析。图c为微

7、段的原始位置，其上面各力均由荷载产生，它们为梁的内力，也是微段的外力。11.3.2各种受力形式下的内力虚功由于梁的虚位移，使微段位移至图d所示位置。微段的虚位移可分为两部分：一为刚性体位移。暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由abcd位置移至。（图d的实线）(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy二为变形虚位移。由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由移到（图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。(d)(b)x虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)M、对于刚体虚位移要做虚功，但由

8、刚体虚位移原理可知，所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。M、对于变形虚位移（图e,f），所做的虚功为(b)式为