信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第3章-离散时间信号与系统3-7 差分方程.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§3-7差分方程国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点差分方程的建立与求解差分方程的时域求解法内容安排3-7-1N阶输入/输出差分方程3-7-2差分方程的求解3-7差分方程在一些应用中，因果时不变离散系统的输入/输出差分方程描述形式较其输入/输出卷积模型更为方便。如考虑银行贷款偿还问题的差分方程描述是这样的，当月份时，方程输入是第n个月偿还的贷款总量，方程输出是第n个月后贷款的差额，方程初始值是贷款总量。通常，月还款额可以是固定值，即，c是常数。但我们考虑更符合实际的情况，即允许

2、月还款额是每月变动的。上述的贷款偿还问题可用如下差分方程描述：（3-7-1）或（3-7-2）式中是年利率，比如年利率为5%，；项是贷款在第n个月的利息。上式是研究贷款偿还过程的一阶差分方程。与输入/输出卷积模型相比，该式的输出是在、且初始条件为时的响应，而卷积模型是没有初始条件的。3-7差分方程3-7-1N阶输入/输出差分方程我们知道，对于连续时间系统，其输入/输出之间的关系可以用微分方程来描述；类似地，对于离散时间系统其输入与输出之间的关系则可用差分方程描述。通常，n阶线性时不变（LTI）离散时间系统可用一个常系数线性差分方程描述为：（

3、3-7-3）式中和分别是系统的输入和输出序列，系数和是常数。式（3-7-3）的初始条件通过给定值定义，并假设均为已知。如果系统又是因果的，则有。所谓求解差分方程，就是寻求对于任意非负k值，在系统输入函数及系统初始条件共同作用下的系统响应。3-7-1N阶输入/输出差分方程另外，如果，则称差分方程是N阶的。该方程给出了根据系统输入及输出的从前值来计算当前输出序列的一个递推算法。可以看出，该方程是按离散时刻从n=-到n=+向前递推的。因此方程的另一个形式为：（3-7-4）如果上述差分方程有一个或多个项非零，则称这个差分方程是递归的。反之，如

4、果所有系数项都等于零，则称差分方程是非递归的。内容安排3-7-1N阶输入/输出差分方程3-7-2差分方程的求解对任意输入序列x(n)，差分方程提供了计算系统响应y(n)的一种方法。但求解差分方程需要已知系统的初始条件。当初始条件为零时，称系统是零初始状态的。一般而言，解系统差分方程有如下几种方法：3-7-2差分方程的求解经典解法差分方程（3-7-3）的完全解或通解是（差分方程的）齐次解和特解两部分的和。具体讲，若已知一个线性常系数差分方程，其通解可写成：（3-7-5）其中是满足齐次差分方程的齐次解，通过令式（3-7-3）中对应输入序列的所

5、有项的系数为零（等价有x(n)=0）就可以得到，即（3-7-6）1、齐次解部分3-7-2差分方程的求解齐次解的形式取决于式（3-7-3）的特征方程解的特性和式（3-7-6）。为说明这一点，首先需要定义线性常系数差分方程的特征方程。线性常系数差分方程的特征方程定义如下：（3-7-7）特征方程的解（特征多项式的根）称为特征值。当特征值互不相同时，即，通过求解齐次差分方程式（3-7-6）得到式（3-7-3）的齐次解为：3-7-2差分方程的求解（3-7-8）系数必须由系统的初始条件确定。齐次解有时也称之为初始状态解。例3-7-1一因果LTI系统由

6、差分方程：3-7-2差分方程的求解描述。试求其特征方程及齐次解。解：系统的特征方程为：它的特征根显然是和。系统的齐次解为：上式中若已知和，则系数和就可求出。当式（3-7-7）特征方程的特征根包含有重根时，齐次解的形式略有不同。例如，当存在一个p重根时（即具有个特征值,且其它特征值互不相同），齐次解的形式为3-7-2差分方程的求解（3-7-9）一般而言，任何一个p重根，在离散域中都会在对应差分方程的齐次解中包含有与有关的p个不同的项，即（3-7-10）例3-7-2设某系统差分方程的特征方程为3-7-2差分方程的求解解出特征根：根据式（3-7

7、-9）可知，齐次解的形式为：例3-7-3设某系统差分方程的特征方程为3-7-2差分方程的求解解出特征根：根据式（3-7-9）可知，齐次解的形式为：另外，一对共轭复数特征根，比如，可以视为两个不同的特征值。通常，一对共轭复数根产生一个振荡的响应分量，在齐次解中将包含正弦和余弦函数，因此其对应的解的形式为3-7-2差分方程的求解（3-7-11）如果齐次解中包含q重复数特征值：则对应的齐次解部分具有的形式为：可以证明，式（3-7-12）中的所有系数都能够由初始条件唯一确定。例3-7-4试求齐次差分方程3-7-2差分方程的求解的解。已知初始条件。

8、解：差分方程对应的特征方程为：其特征根：（二重根）(共轭复根)因此差分方程的齐次解为：3-7-2差分方程的求解式中，系数由初始条件确定：解出3-7-2差分方程的求解故齐次差分方程的解为：需要说