工程力学 第3版 教学课件 作者 张秉荣 主编 第十一章zj.ppt

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1、第十一章应力状态和强度计算第一节应力状态的概念第二节平面应力状态分析（应力圆）第三节三向应力圆及最大切应力第四节广义的胡克定律第五节强度理论简介第六节其他强度理论简介第七节电测应力分析介绍第一节应力状态的概念一、点的应力状态从前面几章的讨论可知，杆件受外力作用发生变形时，往往杆内同一截面上的内力元素不是单一的，而且各点的应力会随该点在截面上的位置而变化，而且过杆上任一点沿不同方位的斜截面上的应力值又各不相同。例如，直杆受轴向拉伸（压缩）时，过杆上任一点的任意斜截面上的应力值σα和τα，均为斜截面方位角α的函数。二、点的应力状态的研究方法要研究某

2、点处的应力状态，可以围绕该点取一个边长为无穷小的正六面体———单元体来分析。下面说明单元体的取法和分析过程。二、点的应力状态的研究方法如图所示受横力弯曲的简支梁，为了分析梁的下边缘上Ｂ点的应力状态，可围绕Ｂ点以两个横截面、两个纵向水平面和两个纵向铅垂面截取一个单元体，如图所示。由于单元体的边长为无穷小，可设以下两点假定：１）单元体各个面上的应力是均匀分布的。２）单元体上任意两个平行面上的应力，其大小和性质完全相同。分析Ｂ点的受力情况可知，该单元体只有左右两个面上有正应力σ，且σ＝ＭＢ／Ｗｚ可用图ｃ所示平面单元表示。用同样的方法在梁的上边缘Ａ点，

3、中性层处的Ｃ点及任意Ｄ、Ｅ处截取单元体，分别得到这些点的应力状态如图ｄ、ｅ、ｆ、ｇ所示。这些单元体均称为原始单元体。主平面：切应力为零的截面主应力：主面上的正应力一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即主单元体：各侧面上切应力均为零的单元体三、主平面和主应力四、应力状态的分类1.单向应力状态：只有一个主应力不等于零2.二向应力状态：两个主应力不等于零3.空间应力状态：三个主应力均不等于零通常将单向和二向应力状态称为平面应力状态，将二向和三向应力状态

4、称为复杂应力状态。112211312231第二节平面应力状态分析xxyzyxyxyxy平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,x和y,y符号规定：正应力仍规定拉应力为正切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正一、斜截面上的应力假想地沿斜截面E-F将单元体截开,留下左边部分EBF作为研究对象xyaxxyxEFBxxyyαααnα设斜截面的面积为dA,BE的面积为dAcos,BF的面积为dAsinefα对研究对象列n和t方向的平衡

5、方程得efaxxyyαααnα化简以上两个平衡方程最后得t(11-1)(11-2)二、应力圆将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得1.应力圆的概念（a）（b）可以看出，在以和σ为纵横坐标的平面坐标系内，式（ｂ）的图像为圆，其圆心坐标为，圆的半径而圆周上任一点的纵横坐标值，则分别代表所研究单元体内某一斜截面上的切应力和正应力。这样的圆称为应力圆。应力圆上的点的纵横坐标与单元体上的截面的正切应力有着一一对应的关系，这种关系简称为点面对应。2.应力圆的作法1）建立σＯ直角坐标系2）按选定的比例尺，在σＯ

6、坐标系中定出Ｄ１（σｘ、ｘ）点和Ｄ２（σｙ、－ｙ）点，则Ｄ１、Ｄ２两点分别代表单元体上法线为ｘ轴和ｙ轴的平面。３）连接Ｄ１和Ｄ２两点，连线Ｄ１、Ｄ２与横轴得交点Ｃ。以Ｃ点为圆心，ＣＤ１或（ＣＤ２）为半径作圆，此圆即为图ａ所示单元体的应力圆。下面证明上述作圆的正确性。由图b说明Ｃ点即式（ｂ）所示应力圆的圆心，ＣＤ１即该圆的半径。3.利用应力圆求斜截面上的应力同理可证＝α。（证明过程从略）欲求单元体α斜截面上的应力（图ａ），可将半径ＣＤ１与单元体上α同转向旋转２α角，转至ＣＥ处，则Ｅ点的横坐标ＯＦ及纵坐标ＥＦ分别为该斜截面上的正应力σα和切应

7、力α之值。这种关系简称为转角二倍。其证明如下：三、主应力和最大切应力的确定由图ｂ可知，从Ｄ１点顺时针转２α０角即到Ａ１点。这意味着，在单元体上从ｘ轴顺时针转α０角，就可以得到主应力σ１所在主平面的外法线位置（如图ｃ）。并且单元体两个主平面的实际夹角为９０0。利用应力圆可以很方便地确定主应力的大小及主平面的方位。在图ｂ中，Ａ１和Ａ２两点分别代表了单元体内的两个主平面，因此Ａ１和Ａ２点的横坐标ＯＡ和ＯＡ即为单元体的主应力σ１和σ２（σ３＝０）。所以（11-3）（11-4）（11-5）（11-6）（11-7）例１１-１　一单元体应力状态如图ａ所示。

8、已知σｘ＝－２０ＭＰａ，σｙ＝４０ＭＰａ，τｘ＝２０ＭＰａ，τｙ＝－２０ＭＰａ。用应力圆求１）α＝３０°斜截面上的应力；２）主应力与主平面的位置；３）