因式分解(竞赛题)不含答案 -.doc

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1、因式分解1、公式法序号公式记忆特征1x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)（十字相乘法）(1)常数项两数积(2)一次项系数两数和(3)二次项系数为12a2-b2=(a-b)(a+b)（平方差公式）3a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2（完全平方公式）4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2（完全平方公式扩展）(1)三数平方和(2)两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3=(a-b)3（完全立方公式）对照完全平方公式相互加强记忆6a3+b3=(a+b)(a2-ab+b

2、2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(1)近似完全平方公式(2)缺项之完全立方公式(a+b)[(a+b)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)[(a+b)2+3ab]=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆8an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)n=整数（平方差公式扩展）(1)短差长和；(2)a指数逐项递减1；(3)b指数逐项递增1；(4)长式每项指数和恒等于n-1。9an-bn=(a+b)(an-1

3、-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)n=偶数（立方差公式扩展）(1)短式变加长式加减相间；(2)a指数逐项递减1；(3)b指数逐项递增1；(4)每项符号b指数决定偶加奇减。10an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)n=奇数（立方和公式扩展）对比公式9的异同运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．　例1分解因式：　　(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；　　　例2分解因式：a3+b3+c3-

4、3abc．　　6　　　说明本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为　　a3+b3+c3-3abc　　　　　　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．　　

5、　2．拆项、添项法　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．　　例3分解因式：x3-9x+8．　　※※变式练习　　1分解因式：　　(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；　　(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab

6、3+a2+b2+1．　6　　3．换元法　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．　　例4分解因式：（1）(x2+x+1)(x2+x+2)-12．（2）(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．　　※※变式练习　1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．　　　4．双十字相乘法　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+

7、35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，　　可以看作是关于x的二次三项式．　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为　　即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．　再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解　　所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］　　　　=(x+2y-3)(2x-11y+1)．　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：6　　它表示的是下面